Månadens problem
mars 20
23 (lösning)

>

FLUGAN

Svar: Flugan flög ungefär 121 m
Lösning:  

När Lukas viftar undan flugan är han i punkten L1 och Rasmus i punkten R1
Flugan hinner ikapp Rasmus i punkten R2
vänder och möter Lukas i punkten L1.
Förhållandet mellan flugans och militärkolonnens hastighet är proportionellt mot motsvarande sträckor:
1) Flugan flyger L1 => R2 när Rasmus går R1 => R2 :
    (50 + a)/a
2) Flugan flyger L1 => R2 => L2 när Lukas går L1 => L2:
    (50 + 2a)/50
Ekv.: (50 + a)/a = (50 + 2a)/50
           50/a + 1 = 1 + 2a/50
                     a2 = 1250
                      a = ±
Flugan flög 50 m + 2a m ≈ 121 m
 

skolpojkarna

Svar:
a)
Adams skolväg: är 3,4 km
    
Bosses skolväg: är 2,2 km
b) Adam: 24 km/h
    Bosse: 12 km/h

    
 Christian:6 km/h
Lösning:
Jämför sträckorna för A och B fram till P:
2 + y = 2(x + y)   (1)
Jämför sträckorna för A och C fram till P:
2 + y = 4(1,6 - z) (2)
Sammanlagt för alla tre fram till punkten P:
2 + x + 2y + 1,6 - z = 4,2 (3)
Efter förenkling:
2x + y = 2 
        (1)
y + 4z = 4,4   
   (2)
x + 2y - z = 0,6 (3)
Eliminera z
4x + 9y = 6,8 (4)
(1) och (4) ger efter förenkling:
x = 0,8
y = 0,4       Enl. (3) är z = 1
a)
Adams skolväg: (2 + 0,4 + 1) km = 3,4 km
Bosses skolväg: (0,8 + 0,4 + 1) km = 2,2 km
b)
Antag att Christians är v km/h och
Adams hastighet 4v km/h   7,5 min = 1/8 h
Använd formeln t = s/v för sträckan PS.
Ekv.: 1/v = 1/4v +1/8
        Christian: v = 6 (km/h)     
        Adam: 4v = 24 (km/h)
        Bosse: 2v = 12 (km/h)
 
 
 


LOTHRINgSKA KORSET

Svar: 

Lösning:
Hela korset består av 13 kvadrater.
Om man flyttar den blå triangeln till den röda triangelns plats, har man sammanlagt mer än 6,5 färgade kvadrater.
Linjen från C genom A är därför inte korrekt. Figuren till höger verkar rimligare.
Triangeln AEF är likformig med triangeln ACD. CD = x
EF/1 = 1/x 
EF = 1/x
Ekvation för den gula arean: De färgade kvadraternas area - den gröna arean.
9 - (x + 1)(1 + 1/x)/2 = 6,5
Efter förenkling


φ är tecknet för fi ≈ 1,618 (Gyllene snittet)
 

yin och yang

Svar: Ja, dra den röda diagonalen
Lösning:  
Henry Dudeney hade ett ganska krångligt bevis till det här problemet.
Ett enklare bevis kan se ut så här:
Arean av den stora cirkeln: 4r2
Då är Yin 4r2/2 = 2r2
Till vänster om den röda delningslinjen ska arean av Yin vara r2
Halvcirkeln A: r2/2
Cirkelsektorn B ska därför vara
r2 - r2/2 = r2/2
Det är den om medelpunktsvinkeln för cirkelsektorn B är 45o.
4r2 . 45/360 = r2/2
Med samma typ av bevis visar man att Yang delas mitt itu av den röda linjen.
   

ETT FÅRAKTIGT PROBLEM

Svar: Två dollar
Lösning:
 
Antag att fadern efterlämnade x får och att bröderna sedan köpte y får och att lammet kostade z dollar. z < 10 dollar
Ekv.: x2 = 10y + z
y är ett udda tal, eftersom y + 1 (lammet) är ett jämnt tal.
Det innebär att den näst sista siffran i x2 är udda.
Undersök x2 för olika värden av x:
x x2 x x2
4 16 11 121 Av tabellen framgår att 
5 25 12 144 näst sista siffran i x2 är
6 36 13 169 udda endast om den
7 49 14 196 sista siffran (= z) är 6.
8 64 15 225 Den ena brodern måste
9 81 16 256 lämna över 2 dollar.
10 100     (10 - 2 = 6 + 2)

Tillbaka

free hit counter