UTMANING - GEOMETRI (LÖSNINGAR)

 CIRKELNS DIAMETER

Svar: Cirkelns diameter är 14 cm.
Lösning:
Eftersom vinkeln C är rät, måste BD vara den sökta diametern i cirkeln.
Triangeln BCE
 Triangeln BCE är en halv liksidig triangel.
Då är CE 9 cm och BE cm
AE är då cm
Enligt kordasatsen är
CE * DE = BE * AE
9x = 36
x = 4

Pythagoras sats på triangeln BCD
beräknar längden av BD till 14 cm.

   

VINKELN X

Svar: Vinkeln X är 30o
Lösning:
OQ = OS (radier)
Då är vinkeln OSQ = xo
Vinkeln QOS = 180o -2x (Vinkesumman)
Vinkeln OPR = 90o
(Vinkeln mellan en tangent och radien till tangeringspunkten är 90o
Yttervinkelsatsen till triangeln OPR ger:
Vinkeln QOS = vinkeln PRO + vinkeln OPR
Ekv.: 180 - 2x = 90 + 30
                60 = 2x
                 x = 30
 

  

ETT VINKLAT PROBLEM

Svar: Vinkeln v är 30o
Lösning:
Drag sträckorna BD, DF och FJ.
DH = FJ = BD/2 = AF/2

I triangeln AFJ är alltså kateten FJ  hälften av hypotenusan AF.

Sin v = FJ/AF = 1/2
Vinkeln v = 30o  

Efter en elegant lösning av
Dang Dan (från Japan?, Korea?)

  

STRÄCKAN BC

Svar: Sträckan BC är 15 cm
Lösning:
Triangeln ABD är likbent.
Då gäller för basen (= kordan AD)
att AE = ED = CF =12 cm 
BE = BF + 7
Antag att BF är x cm
Trianglarna ABE och BCF är likformiga.
BE/CF = AE/BF
(x + 7)/12 = 12/x
x2 + 7x = 144
Andragradsekvationen har lösningarna
x1 = 9      
x2 = -16
Endast det positiva värdet gäller för en sträcka.
Då är BF 9 cm och CF 12 cm.
Pythagoras sats på triangeln BCF ger BC = 15 cm

 Tillbaka

 

  
 

BEVIS

Bevis:
Använd Pythagoras sats på de gula och blå trianglarna.
a2 - p2 = d2 - q2
c2 - q2 = b2 - p2
Summera ledvis!
a2 + c2  - p2 - q2 = b2 + d2  - p2 - q2
a2 + c2 = b2 + d2 
V.S.B.


 Tillbaka
 

         p           q

STRÄCKAN EF

Svar: Sträckan EF är 18 cm.
Lösning:
Av vinklarna framgår att trianglarna
EFG och BCD är likformiga.
Eftersom EG = BC (sidor i kvadraten) är trianglarna kongruenta.
Därför är EF = BH.
BH = 12 cm + 6 cm = 18 cm
 
 Tillbaka

  

TRIANGELNS AREA

Svar: 2400 cm2
Lösning:
 Bisektrissatsen:
Förhållandet mellan sträckorna
AF och FE = förhållandet mellan
sträckrna AB och BE.
Låt därför AB = 30k och BE = 18k
Pythagoras sats på triangeln ABE:
(18k)2 +482 = (30k)2
576k2 = 2304
k2 = 4 
k = 2 (Endast positivt värde duger)
Då är BE = 18 . 2 = 36
Antag att CE = x
Triangeln ACE är likformig med triangeln AEB.
CE/AE = AE/BE
x/48 = 48/36
x = 64
BC = BE + CE = 36 + 64 = 100
Triangelns area 100 . 48/2 =
2400 cm2

 Tillbaka
 

  

MAXIMAL AREA
Svar: AE:EB = 1:2
Lösning:
Antag att sträckan EB är x cm.
Då är sträckan AE (a - x) cm.
Eftersom vinkeln DEF är rät, är det lätt att visa att triangeln BEF är likformig med triangeln ADE.
Likformighet ger:
x/a = BF/(a - x)
BF = (ax - x2)/a

Tillbaka

STRÄCKAN X
Svar:  Den blå sträckan är 6 cm2
Lösning:
Den ljusblå triangeln
Basen är x och höjden a
Area: x . a /2
  
Den mörkblå triangeln
Area: x . b /2

Hela den blå triangeln
Area: x(a + b)/2
(= 24 cm2 enl. texten i uppgiften)
men a + b = x + 2
Alltså kan vi skriva
x(x + 2)/2 = 24
x2 + 2x = 48


 Tillbaka
 		  

TRIANGELNS AREA
Svar: Triangeln FGH:s area är
10 cm2
Lösning:
 Pythagoras sats på triangeln ADH:
(AD)2 + (AH)2 = (DH)2
102 + 52 = (DH)2
DH = cm

Kordasatsen ger:
DF . DH = (DG)2
DF .  = 52
DF =

Triangeln DEF är likformig med triangeln DAH.
(EF)/(AH) = (DF)/(DH)
EF = . 5/
EF = 1

Arean av triangeln FGH =
ADH -AGH - DFG =
25  - 12,5 - 2,5  = 10  (cm2)

 Tillbaka

 

KVADRATENS AREA
Svar: Kvadratens area är 20 cm2
Lösning:
 EG = 2 cm, GH = 5 cm, HF = 3 cm.
Trianglarna AEG, BEH och CFH är likformiga.
Antag att AG är 2x. Då är CH = 3x och BH = 7x.
Kvadratens sida a = BC = 10x
Kvadratens area är (10x)2 = 100 x2
Pythagoras sats på triangeln GHJ ger:
(5x)2 + (10x)2 = 52
125 x2 = 25
Då är 100x2 = 4 . 25/5 = 20 (cm2)

 Tillbaka

STRÄCKAN BE
Svar: Sträckan BE är 12 cm
Lösning:
Vinkeln BAC = vinkeln ACD
(alternatvinklar)
Triangeln BCE är likformig med triangeln ABE.
(Likvinkliga trianglar: Vinkeln E är gemensam och båda trianglarna har en vinkel som är v grader).
Likformighet ger:
x/18 = 8/x
x2 = 144
x = ± 12

Sträckan BE är 12 cm

 Tillbaka

TRIANGELAREAN
Svar: Den röda triangelns area är 73,5 cm2
Lösning:

Påst.: Den röda och gula triangeln har en sammanlagd area = halva kvadraten.
Bevis:
Kvadratens area: a2
Trianglarnas area: a(a - h)/2 + ah/2 = a2/2
V.S.B.

 Tillbaka

REKTANGELNS AREA I
Svar: Rektangelns area är 18 cm2
Lösning:
Låt AC = h och cirkelns radie = R
Då är rektangelns area = AB . AC = Rh
Triangeln BDF är likformig med triangeln BFE.
Likformighet ger:
BD/BF = BF/BE
h/6 = 6/2R
Rh = 18 = rektangelns area

 Tillbaka

HALVCIRKLARNA
Svar:  
Lösning:
Antag att radien i den stora halvcirkeln är R och i de små halvcirklarna r.
Liten halvcirkel: r2/2 = 4   r2 = 8     (1)
Triangeln ABM är rätvinklig.
AB = 2r   BM = R - r    AM = R
Pythagoras sats:
(2r)2 + (R - r)2 = R2   
4r2 + R2 - 2Rr + r2 = R2
5r2 - 2Rr = 0
r(5r - 2R) = 0
r1 = 0
r2 = 2R/5 => R = 5r/2

Stora halvcirkelns area:
R2/2 = (5r/2)2/2 = 25r2/8
Men r2 = 8 enligt (1)
Då är 25r2/8 = 25 . 8/8 = 25  (cm2)
 
 Tillbaka
 

DEN BLÅ TRIANGELN

Svar: Triangelns area är 30 cm2 
Lösning:
Triangeln CDF är kongruent med triangeln ABF.
Arctan vinkeln CFD = 6/3
Vinkeln CFD = vinkeln AFB
Då är vinkeln BFC =
180o - 2 . arctan 6/3 ≈ 53,13o
Då är den rätvinkliga triangeln
CEF en egyptisk triangel, där sidorna förhåller sig som 3:4:5


 
Tillbaka
 

REKTANGELNS AREA II
Svar:  
Lösning:
Rektangeln ABCD:
Låt AB = a. Då är BC = AD = 2a.
Vinklarna, som är markerade med två blå streck är lika stora
(verikalvinklar).
Pythagoras sats på trianglarna
ABC och AEC ger:
(AC)2 = 5a2 och (AC)2 = 50
Då är 5a2 = 50
         a2 = 10
Rektangelns area: a . 2a = 2a2
a2 = 10 => 2a2 = 20 (cm2)

Bevis saknas för att vinkeln AEC är 90o

 Tillbaka
 

DEN GULA AREAN
Svar: 5 cm2
Lösning:
Antag att sidan i kvadraten ABCD är a cm och  att sidan i kvadraten EFGH är b cm.

Parallelltrapetset CDFG:
Arean = (a + b)(a - b)/2
(a + b)(a- b)/2 = 8
a2 - b2 = 16               (!)

Arean av kvadraten ABCD ger ekvationen:
a2 = b2 + 8 + 3 + x
a2 - b2 = 8 + 3 + x men a2 - b2 = 16 enligt (1)
16 = 8 + 3 + x
x = 5

 Tillbaka
 

SAMMANLAGDA AREAN
Svar: 48 cm2
Lösning:
Rektanglarna har sidorna a och b cm.
Kvadraten har sidan (b - a) cm.
Pytagoras sats på triangeln ABC ger:
a2 + b2 = ()2
a2 + b2 = 48                  (1)
Sammanlagd area:
2ab + (b - a)2 =
= 2ab + b2 - 2ab + a2  a2 + b2 =
= 48 enligt ekv. (1)

 Tillbaka
   

DEN BLÅ REKTANGELN
Svar: 32 cm2
Lösning:
Rektangelns area är
a.r cm2
Triangeln ABE är likformig med triangeln AFG.
AB/AG = AE/AF
r/8 = 4/a
a.r = 8 . 4
a.r = 32 (cm2)

 Tillbaka

STRÄCKAN X
Svar: Sträckan X är 6 cm.
Lösning:
Förläng sträckan DE så att vinkeln HBD blir rät.
Kvadratens diagonaler bildar räta vinklar.
Därför är triangeln DBH likformig med triangeln DGF.
Eftersom DG = GB är alla sträckor i triangeln DBH dubbelt så stora som sträckorna i triangeln DGF.
Sträckan BH är därför 6 cm.
Av figuren framgår att den tredje vinkeln i trianglarna ADE och DBH är 90 - v.
Vinkeln BEH = vinkeln AED (vertikalvinklar).
Då är triangeln BEH likbent.  
Sträckan BE är därför lika med sträckan BH =
6 cm.
 
 



Tillbaka

 
 

HUR STOR ÄR TRIANGELNS AREA?
Svar: ABC:s area är 75 cm2.
Lösning:
Kvadratens area = (sidan)2.
Då är DE = cm och DF = cm.
BD = cm

Vinkeln GDH = 180o - 45o - 90o = 45o
DG = GH = x (se figur).

Den blå triangelns area = AD . GH/2
AD måste vara 64/x, eftersom 64/x . x/2 = 32.

Triangeln AGH är likformig med ADF
x/ = (64/x - x)/(64/x)

Då är

Triangeln ADF är likformig med ABC.


Triangeln ABC:s area: BC . AB/2= 75



Tillbaka

 
 

REKTANGELNS AREA III
Svar:  ABC:s area är 15 cm2
Lösning:
Arean av den blå och gröna triangeln är 2 resp. 3 cm2.
Triangeln CDF är likformig med triangeln BEF.
Antag att arean av triangeln CDF är X cm2.
Areaskalan = (längdskalan)2
(a/b)2 = X/2         (1)

Förhållandet mellan areorna av trianglarna BCD och BCE (som har samma höjd) = förhållandet mellan baserna a och b:
a/b = (3 + x)/5     (2)
Ekv. (1) kan då skrivas


Arean av halva rektangeln: (4,5 + 3) cm2 = 7,5 cm2
Hela rektangeln: 2 . 7,5 cm2 = 15 cm2

 Tillbaka
 

RÄTVINKLIG TRIANGEL
Svar:  Triangelns sidor är 28 cm, 45 cm och 53 cm
Lösning:
Av tangenterna till cirkeln framgår att 2c + 2r = 126
     2c + 20 = 126
              c = 53
Då är a + b = 126 - 53 = 73
dvs. b = 73 - a
Pythagoras sats ger:
a2 + (73 - a)2 = 532
a2 + 5329 - 146a + a2 = 2809
2a2 - 146a + 2520 = 0
a2 - 73a + 1260 = 0

 

 

Tillbaka

CIRKELNS RADIE
Svar:  Cirkelns radie är 7,2 cm.
Lösning:
OG // BE och OH // FC
OG = BE = 12 cm
OH = FC = 9 cm

Pythagoras sats på triangeln
OGH ger:
122 + 92 = (GH)2
GH = 15

Arean på triangeln GHO ger ekvationen
15R/2 = 12 . 9/2
15R = 108
R = 7,2

Tillbaka