Untitled 1

UTMANING - GEOMETRI (LÖSNINGAR)

STRÄCKAN BC

Svar: Sträckan BC är 15 cm
Lösning:
Triangeln ABD är likbent.
Då gäller för basen (= kordan AD)
att AE = ED = CF =12 cm
BE = BF + 7
Antag att BF är x cm
Trianglarna ABE och BCF är likformiga.
BE/CF = AE/BF
(x + 7)/12 = 12/x
x² + 7x = 144
Andragradsekvationen har lösningarna
x₁ = 9
x₂ = -16
Endast det positiva värdet gäller för en sträcka.
Då är BF 9 cm och CF 12 cm.
Pythagoras sats på triangeln BCF ger BC = 15 cm

Tillbaka

BEVIS

Bevis:
Använd Pythagoras sats på de gula och blå trianglarna.
a²- p²= d²- q²
c²- q²= b² - p²Summera ledvis!
a²+ c²- p²- q² = b²+ d²- p²- q²a²+ c²= b²+ d²V.S.B. Tillbaka

p q

STRÄCKAN EF

Svar: Sträckan EF är 18 cm.
Lösning:
Av vinklarna framgår att trianglarna
EFG och BCD är likformiga.
Eftersom EG = BC (sidor i kvadraten) är trianglarna kongruenta.
Därför är EF = BH.
BH = 12 cm + 6 cm = 18 cm

Tillbaka

TRIANGELNS AREA

Svar: 2400 cm²
Lösning:
Bisektrissatsen:
Förhållandet mellan sträckorna
AF och FE = förhållandet mellan
sträckrna AB och BE.
Låt därför AB = 30k och BE = 18k
Pythagoras sats på triangeln ABE:
(18k)² +48² = (30k)²
576k² = 2304
k²= 4
k = 2 (Endast positivt värde duger)
Då är BE = 18 ^.2 = 36
Antag att CE = x
Triangeln ACE är likformig med triangeln AEB.
CE/AE = AE/BE
x/48 = 48/36
x = 64
BC = BE + CE = 36 + 64 = 100
Triangelns area 100 ^. 48/2 =
2400 cm² Tillbaka

MAXIMAL AREA

Svar: AE:EB = 1:2
Lösning:
Antag att sträckan EB är x cm.
Då är sträckan AE (a - x) cm.
Eftersom vinkeln DEF är rät, är det lätt att visa att triangeln BEF är likformig med triangeln ADE.
Likformighet ger:
x/a = BF/(a - x)
BF = (ax - x²)/a

Tillbaka

STRÄCKAN X

Svar: Den blå sträckan är 6 cm²
Lösning:
Den ljusblå triangeln
Basen är x och höjden a
Area: x ^. a /2

Den mörkblå triangeln
Area: x ^. b /2

Hela den blå triangeln
Area: x(a + b)/2
(= 24 cm² enl. texten i uppgiften)
men a + b = x + 2
Alltså kan vi skriva
x(x + 2)/2 = 24
x²+ 2x = 48

Tillbaka

TRIANGELNS AREA

Svar: Triangeln FGH:s area är
10 cm²Lösning:
Pythagoras sats på triangeln ADH:
(AD)² + (AH)² = (DH)²
10² + 5²= (DH)²DH =

cm

Kordasatsen ger:
DF ^. DH = (DG)²DF ^.

= 5²DF =

Triangeln DEF är likformig med triangeln DAH.
(EF)/(AH) = (DF)/(DH)
EF =

^.5/

EF = 1

Arean av triangeln FGH =
ADH -AGH - DFG =
25 - 12,5 - 2,5 = 10 (cm²)

Tillbaka

KVADRATENS AREA

Svar: Kvadratens area är 20 cm²Lösning:
EG = 2 cm, GH = 5 cm, HF = 2 cm.
Trianglarna AEG, BEH och CFH är likformiga.
Antag att AG är 2x. Då är CH = 3x och BH = 7x.
Kvadratens sida a = BC = 10x
Kvadratens area är (10x)² = 100 x²
Pythagoras sats på triangeln GHJ ger:
(5x)²+ (10x)² = 5²
125 x² = 25
Då är 100x² = 4 ^. 25/5 = 20 (cm²)

Tillbaka

STRÄCKAN BE

Svar: Sträckan BE är 12 cmLösning:
Vinkeln BAC = vinkeln ACD
(alternatvinklar)
Triangeln BCE är likformig med triangeln ABE.
(Likvinkliga trianglar: Vinkeln E är gemensam och båda trianglarna har en vinkel som är v grader).
Likformighet ger:
x/18 = 8/x
x²= 144
x = ± 12

Sträckan BE är 12 cm

Tillbaka

TRIANGELAREAN


Svar: Den röda triangelns area är 73,5 cm² Lösning: Påst.: Den röda och gula triangeln har en sammanlagd area = halva kvadraten. Bevis: Kvadratens area: a² Trianglarnas area: a(a - h)/2 + ah/2 = a²/2 V.S.B. Tillbaka

REKTANGELNS AREA I

Svar: Rektangelns area är 18 cm²Lösning:
Låt AC = h och cirkelns radie = R
Då är rektangelns area = AB^. AC = Rh
Triangeln BDF är likformig med triangeln BFE.
Likformighet ger:
BD/BF = BF/BE
h/6 = 6/2R
Rh = 18 = rektangelns area

Tillbaka

HALVCIRKLARNA

Svar: Lösning:
Antag att radien i den stora halvcirkeln är R och i de små halvcirklarna r.
Liten halvcirkel: r²/2 = 4   r² = 8     (1)
Triangeln ABM är rätvinklig.
AB = 2r   BM = R - r    AM = R
Pythagoras sats:
(2r)² + (R - r)² = R²
4r²+ R²- 2Rr + r²= R²
5r²- 2Rr = 0
r(5r - 2R) = 0
r₁= 0
r₂= 2R/5 => R = 5r/2

Stora halvcirkelns area:
R²/2 = (5r/2)²/2 = 25r²/8
Men r² = 8 enligt (1)
Då är 25r²/8 = 25 ^. 8/8 = 25 (cm²)

Tillbaka

DEN BLÅ TRIANGELN

Svar: Triangelns area är 30 cm² Lösning:
Triangeln CDF är kongruent med triangeln ABF.
Arctan vinkeln CFD = 6/3
Vinkeln CFD = vinkeln AFB
Då är vinkeln BFC =
180^o- 2 ^.arctan 6/3 ≈ 53,13^o
Då är den rätvinkliga triangeln
CEF en egyptisk triangel, där sidorna förhåller sig som 3:4:5

Tillbaka

REKTANGELNS AREA II

Svar: Lösning:
Rektangeln ABCD:
Låt AB = a. Då är BC = AD = 2a.
Vinklarna, som är markerade med två blå streck är lika stora
(verikalvinklar).
Pythagoras sats på trianglarna
ABC och AEC ger:
(AC)²= 5a² och (AC)²= 50
Då är 5a²= 50
a²= 10
Rektangelns area: a ^. 2a = 2a²
a²= 10 => 2a²= 20 (cm²)

Bevis saknas för att vinkeln AEC är 90^o

Tillbaka

DEN GULA AREAN

Svar: 5 cm²Lösning:
Antag att sidan i kvadraten ABCD är a cm och att sidan i kvadraten EFGH är b cm.

Parallelltrapetset CDFG:
Arean = (a + b)(a - b)/2
(a + b)(a- b)/2 = 8
a² - b² = 16 (!)

Arean av kvadraten ABCD ger ekvationen:
a²= b² + 8 + 3 + x
a²- b² = 8 + 3 + x men a²- b² = 16 enligt (1)
16 = 8 + 3 + x
x = 5

Tillbaka

SAMMANLAGDA AREAN

Svar: 48 cm²Lösning:
Rektanglarna har sidorna a och b cm.
Kvadraten har sidan (b - a) cm.
Pytagoras sats på triangeln ABC ger:
a² + b² = (

)²a² + b² = 48 (1)
Sammanlagd area:
2ab + (b - a)²=
= 2ab + b² - 2ab + a² a² + b²=
= 48 enligt ekv. (1)

Tillbaka

DEN BLÅ REKTANGELN

Svar: 32 cm²Lösning:
Rektangelns area är
a^.r cm²Triangeln ABE är likformig med triangeln AFG.
AB/AG = AE/AF
r/8 = 4/a
a^.r = 8 ^.4
a^.r = 32 (cm²)

Tillbaka

STRÄCKAN X

Svar: Sträckan X är 6 cm.
Lösning:
Förläng sträckan DE så att vinkeln HBD blir rät.
Kvadratens diagonaler bildar räta vinklar.
Därför är triangeln DBH likformig med triangeln DGF.
Eftersom DG = GB är alla sträckor i triangeln DBH dubbelt så stora som sträckorna i triangeln DGF.
Sträckan BH är därför 6 cm.
Av figuren framgår att den tredje vinkeln i trianglarna ADE och DBH är 90 - v.
Vinkeln BEH = vinkeln AED (vertikalvinklar).
Då är triangeln BEH likbent.
Sträckan BE är därför lika med sträckan BH =
6 cm.

Tillbaka

HUR STOR ÄR TRIANGELNS AREA?

Svar: ABC:s area är 75 cm².
Lösning:
Kvadratens area = (sidan)².
Då är DE =

cm och DF =

cm.
BD =

cm

Vinkeln GDH = 180^o - 45^o - 90^o = 45^o
DG = GH = x (se figur).

Den blå triangelns area = AD ^.GH/2
AD måste vara 64/x, eftersom 64/x ^. x/2 = 32.

Triangeln AGH är likformig med ADF
x/

= (64/x - x)/(64/x)

Då är

Triangeln ADF är likformig med ABC.

Triangeln ABC:s area: BC ^. AB/2= 75

Tillbaka

REKTANGELNS AREA III

Svar: ABC:s area är 15 cm²Lösning:
Arean av den blå och gröna triangeln är 2 resp. 3 cm².
Triangeln CDF är likformig med triangeln BEF.
Antag att arean av triangeln CDF är X cm².
Areaskalan = (längdskalan)²
(a/b)² = X/2 (1)

Förhållandet mellan areorna av trianglarna BCD och BCE (som har samma höjd) = förhållandet mellan baserna a och b:
a/b = (3 + x)/5 (2)
Ekv. (1) kan då skrivas

Arean av halva rektangeln: (4,5 + 3) cm² = 7,5 cm²Hela rektangeln: 2 ^. 7,5 cm²= 15 cm²

Tillbaka

RÄTVINKLIG TRIANGEL

Svar: Triangelns sidor är 28 cm, 45 cm och 53 cm Lösning:
Av tangenterna till cirkeln framgår att 2c + 2r = 126
2c + 20 = 126
c = 53
Då är a + b = 126 - 53 = 73
dvs. b = 73 - a
Pythagoras sats ger:
a² + (73 - a)² = 53²
a² + 5329 - 146a + a² = 2809
2a² - 146a + 2520 = 0
a² - 73a + 1260 = 0

Tillbaka