Tomtenissarnas skoterrunda (Lösning)

Svar: Hela skoterrundan är 12 km.
Lösning:
Antag att kateterna är x resp. y km.
Då är hypotenusan z = (x+y-2) km enligt uppg.       (1)
Pytagoras sats ger
x2  + y2  = (x + y - 2)2                                           (2)
 
Efter förenkling får man
   

(3)
Insättning av i ekv. (1) ger  
   

(4)

 

 y = 1 insatt i ekv. (4)  z = -1
 y = 2 insatt i ekv. (4)  z ∞
 y = 3 insatt i ekv. (4)  z = 5 och x = 4
 y = 4 insatt i ekv. (4)  z = 5 och x = 3
 y > 4 insatt i ekv. (4)  z är inget naturligt tal
Anm. 1: Lösningarna för y = 3 och y = 4 är identiska.

Slutsats: Kateterna är 3 resp. 4 km och hypotenusan (3 + 4 - 2) km = 5 km.
              Skoterrundan är (3 + 4 + 5) km = 12 km
Anm. 2: Om z = x + y - a (a = 2 i exemplet ovan), gäller allmänt att

Om a är ett udda tal (1, 3, 5, ....) finns det ingen lösning!
Orsaken är att täljaren a2 då är ett udda tal medan nämnaren 2(y - 2) är ett jämnt tal.
Det innebär att det finns inget naturligt tal z som satisfierar ekvationen.

Tillbaka