Månadens problem
september 2020 (lösning)
Uppg. 1:
Svar: 8/11
Lösning:
A X B:                                  2 vägar
A X Y B:  2 . 3 vägar = 6 vägar
A Y B:                           3 vägar
Sammanlagt: 11 vägar
8 av dessa vägar går över X.
Sannolikhet (att passera X): 8/11
Uppg. 2:
a) Marcus hinner ifatt Emma efter (29 + 24) min = 53 min
Svar: Marcus hinner ifatt Emma en timme efter starten.
Lösning:
Emma har 6 min (1/10 h) försprång när de börjar cyklingen.
Antag att Marcus har cyklat x min när han hinner ifatt Emma.
Då har Emma cyklat (x + 6) min
Marcus hastighet: 30 km/h = 0,5 km/min
Emmas hastighet: 24 km/h = 0,4 km/ min
Ekv.:
0,5x = 0,4(x+ 6)
0,1x = 2,4
    x = 24
Marcus hinner ifatt Emma efter (29 + 24) min = 53 min
b)
Svar: Det är inte realistiskt att Emma får lika bra sluttid som Marcus.
Resonemang:
 Marcus sluttid: 29 min + 40/30 h + 50 min = 29 min + 80 min + 50 min = 2h 39 min
Emmas tid efter cyklingen: 23 min + 40/24 h = 23 min + 100 min = 2 h 3 min
Det innebär att Emma måste klara av 10 km löpning på 36 min. Hennes svaga cykelsträcka (endast 24 km/h) tyder inte alls på att hon har den kondition som krävs för en så bra tid på 10 km.
(Om det var tekniska problem med cykeln, som var orsaken till den svaga cykelsträckan, kan det vara möjligt att hon faktiskt kan klara 10 km löpning på 36 min.
Men 36 min är en mycket bra tid. Man kan jämföra med att 7:an på 10 000 m på Friidrotts SM i år hade tiden 35.51.
 Att hon på den inledande simningen hade så mycket bättre tid än Marcus beror  troligen på att hon har betydligt bättre simteknik.)
 
Uppg. 3:
Svar: x + y = 4041
Lösning:
Låt a = x - 2020 och b = y - 2021
Ekvationen kan då skrivas
2ab = - a2 - b2
a2 + b2 + 2ab = 0
(a + b)2 = 0
a + b = 0 dvs.
x - 2020 + y - 2021 = 0
x + y = 4041
 
Uppg. 4:
Svar: BC är 4 cm
Lösning:
cos v i triangeln ABC är x/6 (1)

Cosinussatsen på triangeln BCD
(CD)2 = 2x2 - 2x2cos v
Men cos v = x/6 enligt (1)



 
 

  

 
Uppg. 5:
Svar: Följande trianglar uppfyller villkoren:
3 4 5
 9  10 17
 19  20 37
 33  34 65
Lösning:
Eftersom a + a+ 1> c är (a + a + 1 + c)/2 - c > 0
Då är (a + a + 1 + c)/2 - c = 1 (Enligt uppgiftstexten)
(a + a + 1 + c)/2 - c = 1
2a + 1 +c -2c = 2
c = 2a - 1
Vi kallar halva omkretsen för s.
s = (a + a + 1 + c)/2 = (a + a+ 1 + 2a - 1)/2 = 2a
Herons formel:

Vi vet också att halva omkretsen är < 100, dvs.
s = 2a < 100
Då är 0 < a < 50
I det intervallet är 2a - 2 en jämn kvadrat > 0
för a = 3, 9, 19, 33
De fyra trianglarna har följande sidor
 
Triangelns sidor Jämn kvadrat s = omkretsen/2
a a + 1 2a - 1 2a - 2 2a
3 4 5 4 6
9 10 17 16 18
19 20 37 36 38
33 34 65 64 66
51 52 101 100 102

 

 

 

 Tillbaka