Uppg. 1:
Svar: Entalssiffran i svaret är 5
Figuren nedan visar en möjlig lösning.
|
Uppg. 2:
Svar: Rätt, om Wilma svarade 5!
Fel, om Wilma svarade 5
(Multiplikation räknas före subtraktion)
Lösning:
230 - 220 . 0,5 = 230 - 110 =
120
Wilma svarade 5!
5! betyder 1 . 2 .
3 . 4 . 5
= 120 |
Uppg. 3:
|
Uppg. 4:
Bevis:
Ofta är det en fördel att göra symmetriska antaganden
för att få enkla utryck med hjälp av konjugatregeln.
Låt oss därför kalla talen (x - 3/2), (x - 1/2), (x + 1/2),
(x + 3/2)
(x - 3/2) . (x - 1/2) .
(x + 1/2) . (x + 3/2) + 1 =
(x2 - 9/4) . (x2
- 1/4) + 1 =
x4 - 5x2/2 + 9/16 + 1 = x4
- 5x2/2 + 25/16 = x4 - 5x2/2
+ (5/4)2 = (x2 - 5/4)2
Extrauppgift:
a) Svar: Produkten av fyra på varandra följande
jämna heltal ökat med 16.
Bevis:
Vi kallar talen x -3, x - 1, x + 1, x + 3
(x - 3)(x - 1)(x + 1)(x + 3) = (x2 -
9)(x2 - 1) = x4 - 10x2
+ 9
x4 - 10x2
+ 9 an skrivas (x2)2 -2 .
5x2 + 9
Om siffertermen 9 ökas med 16 till 25 får man (x2)2
-2 . 5x2 + 25 = (x2 - 5)2
b) Svar: Produkten av fyra på varandra följande
udda heltal ökat med 16
Beviset utförs på samma sätt som i a-uppg., men regeln
gäller inte om ett udda antal av faktorerna är negativa.
|
|
Uppg. 5:
Svar:
k = 8/3
Lösning:
Arean av den gula fyrhörningen är lika med kvadratens
area - arean av de fyra ursprung-
liga trianglarna.
Genom att tillämpa likformighet på trianglarna
AST och APU får man reda på att höjden h i triangeln ARS är k.
Arean av
triangeln CPQ = triangeln DQR = k(4 - k)/2
triangeln ABP = 4k/2
triangeln ARS = k(4 - k)/2
Arean av fyrhörningen PQRS är
f(k) = 16 - 2 .
k(4 - k)/2 - 4k/2 - k(4 - k)/2
f(k) = 16 - 4k + k2 - 2k -(4k - k2)/2
Derivera!
f ' (k) = -4 + 2k - 2 - 2 + k
f ' (k) = -8 + 3k
Sätt f ' (k) = 0
- 8 + 3k = 0
k = 8/3
|
|
|