Månadens problem oktober 2021

Månadens problem
oktober 2022 (lösningar)

Additionerna

Svar: aaa måste betyda 888.
I den ena additionen är de andra två talen 444 och 777 och i den andra additionen är de andra två talen 555 och 666.
Lösning:
Eftersom a+b+c (liksom a+d+e) ger olika siffror i svaret måste det bero på olika minnessiffor i tiotalskolumnen och hundratalskolumnen

Då kan vi dra följande slutsatser:

*	ingen minnessiffra kan vara 3
*	minnessiffran i tiotalskolumnen är 1 och
*	minnessiffran i hundratalskolumnen är 2
*	Om vi ska få olika minnessiffror måste a + b + c = a + d + e = 19
*	Då är i = 9, h = 0, g = 1 och f = 2

Efter prövning med olika värden på a, kommer vi till slut fram till att a = 8.
Då är b + c = d + e = 19 - 8 = 11
4 + 7 = 5 + 6 = 11
Talen 444 och 777 placeras i den ena additionen och 555 och 666 i den andra.

Partyt

Svar: Maximalt 80 personer kan ha ätit både glass och kladdkaka.
Lösning:
Antagande:
x = enbart glass
y = glass och kladdkaka
z = enbart kladdkaka
Ekv.:
(x + y)/(y + z) = 3:2
2x + 2y = 3y + 3z
y = 2x - 3z
Av ekvationen framgår att maximala värdet på y får man om z = 0, dvs. y = 2x
Det betyder att alla 120 personerna äter glass.
x + y = 120 men eftersom y = 2x får man att y = 80

sambandet

a)
Svar:
Lösning:

y = x + z
Man kan lätt visa att vinklarna är lika stora i trianglarna DHJ och EMN, dvs. trianglarna är likformiga.
Likformighet ger
x/(y - z) = (y - x)/z
xz = y² - xy - yz + xz
y² - xy - yz = 0
y(y - x - z) = 0 y ≠ 0
y - x - z = 0
y = x + z

b)
Svar:

Ja, x = 4 cm, y = 7 cm och z = 3 cm.
DE är då

Lösning:

BC är 15 cm enligt Pythagoras sats på triangeln ABC. BC/AB = 15/20 = 3:4
Det innebär att förhållandet mellan kateterna i trianglarna JHD och ENM också är 3:4.

Triangeln JHD
JH = x. Då är DH = 3x/4 cm.
DG = x + 3x/4 = 7x/4 (cm). x = 4 ger y = 7
Höjden h mot sidan AC i triangeln ABC är 12 cm
DG ≤ h. Därför finns det ingen ytterligare heltalslösning.
Triangeln ENM
NM = z. Då är EN = 4z/3 cm.
EF = z + 4z/3 = 7z/3 (cm). z = 3 ger y = 7
EF = DG ≤ h. Det ingen ytterligare heltalslösning.

Se fig. till höger.
DG = EF = 7 cm
Då är höjden mot DE i triangeln BDE 12 cm - 7 cm = 5cm.
Triangeln BDE är likformig med triangeln BAC.
DE/25 = 5/12
DE = 125/12
DE =

(cm)

triangeln

Låt y beteckna arean av triangeln RST
a)
Svar:
Lösning:
Antag att triangeln ABC har arean A.
w =3A/8
(3/4 av basen AC och 1/2 av höjden i triangeln ABC)
x =
(q/(p+q) anger del av basen och 1/2 anger del av höjden i triangeln ABC)
z =
(p/(p+q) anger del av basen och 1/4 anger del av höjden i triangeln ABC)

x² = w ^. z ger ekvationen

b)
Svar: Areorna i fallande ordning:
w, y, x, z

Lösning:
w = 3/8 = 0,375 (av triangelns area)
p/q ≈ 1,21 p ≈ 1,21q
x = q/(2*(1,21q +q) ≈ 0,225
z = 1,21q/(4*(1,21q +q) ≈ 0,137
y ≈ 1 - 0,375 - 0,225 - 0,137 ≈ 0,263

Areorna i fallande ordning:
w:0,375
y:0,263
x:0,225
z:0,137

divisionen

Lösning:
Antag att talet T = abcdef
Värdet av talet T	T: 100000a+10000b+1000c+100d+10e+f
Värdet av det nya talet T₁	T₁: 100000b+10000c+1000d+100e+10f+a
Det kan också skrivas	T₁= 10T - 10 ^. 100000a +a = 10T - 999999a
999999 = 111 ^.9009 = 3 ^.37 ^.9009 = 37 ^.27027 Då är både T (enligt texten i uppgiften) och 999999a jämnt delbara med 37. Då har vi visat att T₁= 10^.T - 999999a är jämnt delbart med 37.