|
Delbarhetsregler |
|
 |
Uppg. 1:
Bevisa att ett tal är delbart med nio, om siffersumman i
talet är delbar med nio.
Bevis:
Bevis för ett
tresiffrigt tal
Antag att talet är 100x + 10y + z
Det kan skrivas 99x + 9 y + (x + y + z)
Om siffersumman är 9n (n = 1, 2, 3), dvs. att siffersumman är
delbar med 9, kan det tresiffriga talet skrivas 99x + 9y +
9n = 9(11x
+ y + n).
Det tresiffriga talet är då delbart med 9.
Ett generellt bevis
Antag att talet är 10n.x
+ 10n-1.y +10n-2.z + ….. +
100.v
Talet kan då skrivas (10n-1).x +
(10n-1-1).y +(10n-2-1).z
+ ….. + (x + y + z + …+ v)
Om siffersumman är delbar med 9,
innehåller samtliga termer faktorn 9.
Talet är då delbart med 9.
|
Uppg. 2: Bevisa följande
regel för ett tals delbarhet med sju.
Regel: Stryk talets entalssiffra (y). Från det tal som då
återstår, subtraherar man 2y. Om differensen då är delbar med 7,
är det ursprungliga talet också delbart med 7.
Ex: Är talet 385 delbart med 7?
38 – 2 . 5 = 28.
Eftersom 28 är delbart med 7, är det ursprungliga talet också
delbart med 7.
Bevis:
Antag att talet är x och att entalssiffran är y.
Enligt regeln får man då (x – y)/10 – 2.y
Detta kan skrivas (x – 21y)/10
Om detta resultat är delbart med 7, kan det skrivas 7n (n = 0,
1, 2, 3….)
Ekv.: (x – 21y)/10 = 7n
x = 70n + 21y
x = 7(10n + 3y)
V.S.B.
Ex.:
Är talet 23450 delbart med 7.
Lösning:
2345 - 2.0 = 2345.
Upprepa denna metod!
234 - 2.5 = 224
22 - 2.4 = 14
Svar: Eftersom 14 är delbart med 7, är talet 23450 delbart med
7. |
Uppg. 3:
Bevisa följande regel för ett tals delbarhet med 11.
Stryk talets entalssiffra (y). Från det tal som då återstår,
subtraherar man y.
Om differensen då är delbar med 11, är det ursprungliga talet
också delbart med 11.
Ex: Är talet 4873 delbart med 11?
487 - 3 = 484
48 - 4 = 44
Eftersom 44 är delbart med 11, är det ursprungliga talet också
delbart med 11.
Bevis:
Antag att talet är x och att entalssiffran är y.
Enligt regeln får man då (x - y)/10 - y
Detta kan skrivas (x - 11y)/10
Om detta resultat är delbart med 11, kan det skrivas 11n (n = 0,
1, 2, 3….)
Ekv.: (x – 11y)/10 = 11n
x = 110n + 11y
x = 11(10n + y)
V.S.B.
Alternativ metod:
Bevisa följande regel för ett tals delbarhet med 11:
1. Låt siffrorna i talet vara växelvis positiva och
negativa.
2. Om summan av siffrorna är delbar med 11, är hela det
ursprungliga talet delbart med 11.
Bevis:
Vi undersöker talet abcde, dvs. 10000a + 1000b + 100c + 10d
+ e.
Det kan skrivas
(11-1)4 a + (11-1)3 b + (11-1)2
c + (11-1)1 d + e
När vi utvecklar parenteserna och multiplicerar med variablerna
kommer vi att få termer som innehåller faktorn 11 utom i fem
fall, där vi får a, - b, c, -d och e
Resultatet kan därför sammanfattas som (a - b +c - d + e) + 11n,
där n är ett heltal. (Termen 11n är summan av alla de termer som
innehåller faktorn 11.)
Vi kan då dra slutsatsen att om (a - b +c - d + e) är delbart
med 11, så är också det ursprungliga talet delbart med 11.
Anm.:
Om talet innehåller ett udda antal siffror, ska den första
siffran räknas positiv.
Innehåller talet ett jämnt antal siffror, ska den första siffran
räknas negativ.
Det fungerar dock lika bra om man även i det senare fallet
räknar den första siffran positiv. |
|