Månadens problem november 2022

Månadens problem
november 2022 (lösningar)

talmysteriet

Svar:
De romerska talen IV, IX, XL ... blir större när man tar bort siffran längst till vänster.

litermåttet

Lösning: Fyll lådan till brädden med vatten och ställ den på diskbänken.
Lyft långsamt och försiktigt lådan i hörnet D så att hörnet B hela tiden vilar mot diskbänken.
När så mycket vatten runnit ut, att halva botten ovanför diagonalen AC är fri från vatten, finns det kvar 1 liter vatten i lådan.

Bevis: Vattnet bildar rymdfiguren ABC = en pyramid.
Basytan (A) är 40 ^.30/2 cm² = 600 cm²
Formel för pyramidens volym: A ^. h/3
V = 600 ^. 5/3 cm³= 1000 cm³= 1000 ml = 1 liter
Alternativ lösning:
Staffan R.:
"Luta den vattenfyllda lådan t.ex. utefter kanten 40 cm så att 2/3 av lådans bottenyta torrläggs. Då återstår vattenvolymen 10^.5^.0,5^.40 cm³= 1 l.
Jag förutsätter att längdmått finns."

läget av hörnet c

Svar: Alla möjliga lägen för C bildar en ny kvadrat med sidan 2a^.
Lösning:

Triangeln ABC är utritad i tre olika lägen.
Hörnet C verkar ligga på en kvadrat med samma medelpunkt som den ursprungliga kvadraten
och med sidan 2a^.

Bevis (enligt kompendiet med denna uppgift):
Jämför med figuren till höger.
Kvadratens medelpunkt är M och sidan har längden 2a.
Sträckan MC är

gånger så lång som AM (visas för C₁) och vinkelrät mot denna.
Sträckan MC:s horisontella och vertikala projektioner är därför

gånger så långa som AM:s horisontella och vertikala projektioner.

Då A rör sig på en av kvadratens horisontella sidor är därför MC:s horisontella projektion konstant a

.
Härav följer att de möjliga lägena för C bildar en ny kvadrat med medelpunkt i M, med sidlängden 2a^.och med sidorna parallella med den ursprungliga kvadraten.
Alternativa lösningar
Staffan R. har lagt in kvadraten i ett koordinatsystem med kvadratens mittpunkt i origo och sedan visat att alla möjliga lägen för C bildar en kvadrat med medelpunkten i origo och med sidan 2a^.
Pelle P. har på liknande sätt lagt in kvadraten i ett koordinatsystem med kvadratens mittpunkt i origo men sedan använt det imaginära talplanet.

hamstrar och papegojor

Svar:
a) 44 hamstrar
b) 5 hamstrar och 2 papegojor var osålda
Lösning:
Antag att x hamstrar och x papegojor köptes in.
Inköpspris: 10x kr + 5x kr = 15 x kr
Försäljningspris: Hamster 1,1 ^. 10 kr = 11 kr Papegoja: 1,1 ^. 5 kr = 5,50 kr
                         Totalt: 16,5x kr (Hamstrar: 11x kr   Papegoja: 5,5x kr)
Antag att y hamstrar och (7 - y) papegojor var osålda.
Inköpspris = Försäljningspris - värdet av de osålda djuren
Ekv.: 15x = 16,5x - 11y - 5,5(7 - y)
        5,5y = 1,5x - 38,5
        11y = 3x - 77        0 ≤ y ≤ 7
        y = (3x - 77)/11

       Vilka x-värden ger ett y-värde i intervallet 0 ≤ y ≤ 7?
       Svar: x = 33 ger y = 2 och x = 44 ger y = 5
       Men papegojorna har inköpts parvis. x = 33 duger därför inte som svar.
       x = 44 => 44 hamstrar köptes in och y = 5 => 5 hamstrar och (7 - y) =
       2 papegojor var osålda.

Rektangeln

Svar: Rektangelns sidor är 24 cm och 9 cm Lösning: Sätt QP = 2a och QR = b OZ = 4 cm Då är OT = (b - 4) cm CA = CB = 3 cm Då är AQ = DQ = (b - 3) cm och BT = DT = (a - 3 cm) TY = QT − QY = QD + TD − QY = (b − 3) + (a − 3) − a = b − 6
Pythagoras sats på triangeln OTY ger (b - 6)² + 4² =(b - 4)² b²- 12b +36 + 16 = b²- 8b +16 4b = 36 b = 9 => TY = 9 - 6 = 3 cm OY = 4 cm Likformighet för trianglarna QZT och OTY ger a/4 = 9/3 a= 12 Då är rektangelns sidor 2a = 24 cm och b = 9 cm Alternativ lösning: Staffan R. har använt trigonometri i sin lösning.

Tillbaka