Uppg. 1:
Svar: 3:1 Lösning:
Rita in
sträckan OD i figuren.
Vi vet att ED och radien OA är lika stora.
Då är ED och radien OD lika långa och de små
vinklarna i den likbenta triangeln DEO lika
stora. Vi kallar vinklarna för x.
Vinkeln CDO är 2x (Yttervinkel till trinangeln
DEO.)
Triangeln CDO är likbent. Därför är vinkeln DCO
= vinkeln CDO = 2x.
Vinkeln COB är 3x (Yttervinkel till triangeln
CEO.
Vinkeln COB/vinkeln DEA = 3x/x = 3:1
Uppg.
2:
Svar:
3 cm Lösning: Antagande enligt figur. Vi beräknar hörntrianglarnas sidor med
Pythagoras sats.
x2 + (23 - x)2 =
172
Efter förenkling får vi
x2 - 23x + 120 = 0
x = 23/2 ± 7/2
x1 = 15
x2 = 8
Det
finns en formel för att räkna ut radien i den
inskrivna cirkeln, men vi kan också lätt räkna
ut radien på det här sättet:
Hörntriangeln kan delas upp i tre trianglar enligt
figuren.
Vi kan sedan bilda en ekvation genom att teckna
arean på två sätt
8r/2 + 15r/2 + 17r/2 = 8 .
15/2
40r = 120
r = 3
Uppg. 3
a)
Svar: Amanda hinner ikapp Sara efter 54
minuter.
Lösning: Sara har cyklat i 6 min när Amanda börjar
cykla. 6 min = 1/10 h.
Antag att Amanda har cyklat i x h, när hon
hinner ikapp Sara.
Ekv.: 30x = 24(x + 1/10)
6x = 2,4
x = 0,4
0,4 h = 24 min
Amanda hinner ikapp Sara efter
30 min (simning) + 24 min (löpning) = 54 min b)
Svar: T.ex. Amanda springer 10 km på 40 min
och Sara på 45 minuter Lösning:
Efter två delmoment:
Amanda: 30 min + 40/30 h = 30 min + 1 h 20 min =
1 h 50 min
Sara: 24 min + 40/24 h =
24 min + 1 h 40 min = 2 h 4 min.
Amanda leder med 14 min efter två delmoment.
I mål är Amanda 19 min före Sara.
Amanda springer alltså 10 km 5 minuter snabbare
än Sara.
Ingen av dem tillhör absoluta eliten:
Simning 24 min resp. 30 min (Lisa Nordén, 2:a vid OS
2012 tid: 20:04)
Cykling: 1 h 40 min resp. 1 h 20 min (Lisa
Nordén 1:06:02)
Löpning: Lisa Nordén 33:42
Ett tänkbart exempel: Amanda springer 10 km på
40 min (15 km/h) och Sara 45 min.
Uppg.
4 Svar: Sannolikheten att Britta är
närmare Adam än Cissi är 1/3 Lösning: När Britta befinner sig i punkterna X och Y
är avståndet till Adam och Cissi lika stort. Adam,
Britta och Cissi står då i hörnen av en liksidig
triangel.
När Britta
befinner sig på den röda cirkelbågen är avståndet till
Adam mindre än Cissi. Medelpunktsvinkeln till den röda
cirkelbågen är 120o När Britta befinner sig på den svarta cirkelbågen
är avståndet till Adam större än till Cissi.
Sannolikheten för att Britta är närmare Adam än Cissi är
120/360 = 1/3
Uppg. 5 Svar: Man kan välja på 241 920
olika sätt. Lösning:
6 herrar kan ha värdinnan till bordet. När
värdinnan har fått sin bordskavaljer, kan
resterande damer placeras på 8! olika sätt.
Multiplikationsprincipen ger 6 .
8! olika sätt = 241 920
(Elementär kombinatorik ex. 5.6)
