Uppgift 1: Lidingöloppet
Svar: Mellvin är 300 m efter Maria
Lösning:
Antag att Mellvins hastighet är x m/s uppför backen och
Marias y m/s uppför backen.
Tiden när de möts kan skrivas
 |
Antag
att Mellvin är a m efter Maria, när Maria sprungit
ned för hela backen.
Tiden från deras möte till dess att Maria kommit ned
för backen:
 |
Birger J.
har föreslagit följande eleganta lösning:
Vi tänker oss att de springer med samma hastigheter
både uppför och nedför
men uppförsbacken är dubbelt så lång. Maria har då
sprungit 1470 meter när Melvin sprungit 1260 meter.
Vi har förhållandet mellan tillryggalagda sträckor
1260/1470.
När Maria har sprungit 2100 meter har Melvin
sprungit
 m.
Han befinner sig (2100-1800) m =300 m efter Maria. |
|
|
Uppgift 2:
Svar: Det långa ljuset var 21 cm och det korta ljuset
6 cm
Lösning:
Kl. 21.00 var
ljusen lika långa. Eftersom det (från början) långa ljuset
var nedbrunnet efter ytterligare en timme och det korta
ljuset efter två timmar, minskade det långa ljuset med
dubbelt så många cm/h som det korta ljuset.
Antag att det korta ljuset var x cm och det långa ljuset var
(x + 15 cm).
Det korta ljuset brann ner på 4 timmar och det långa ljuset
på 7 timmar
Brinnhastigheten för det korta ljuset:
x/4
(1)
Brinnhastigheten för det långa ljuset ljuset:
(x+ 15)/7 (2)
Eftersom brinnhastigheten är dubbelt så stor i ekv. (2) som
i ekv. (1) gäller att
2x/4 = (x + 15)/7
x = 6
Det korta ljuset är 6 cm och det långa ljuset (6 + 15) cm =
21 cm
|
Uppgift 3:
Svar:
29 cm
|
 |
Beräkning av höjden med hjälp av vätskan
Lösningsförslag 1:
Vätska med alternativet med den stora cylindern nederst
9 .
. a +
(20
– a)
Vätska med alternativet med den lilla cylindern nederst
.
b + (28 – b) . 9
Ekv.: 9 .
. a +
(20
– a) =
. b + (28 – b) . 9
Efter förenkling får man a + b = 29 (cm)
Beräkning av höjden med hjälp av
det tomma
utrymmet
Lösningsförslag 2:
Antag att hela cisternens höjd är h cm.
Volymen av det tomma utrymmet i figur B och C är lika
stort.
Ekv.: 12(h-20)
= 32(h-28)
h
- 20 = 9(h - 28)
h = 29
Lösningsförslag 3:
För att kunna ställa upp en ekvation ska vi först
resonera om höjden för det utrymme, som inte är fyllt
med vatten.
Förhållandet mellan radierna
är 1:3. Då är förhållandet mellan cylindrarnas bottenareor 1:9.
Det innebär att för en viss volym, blir höjningen av
vattenytan 9 gånger så stor i den lilla cylindern jämfört
med den stora cylindern.
Antag att höjden för det tomma utrymmet är 9x cm i figur B
och x cm i figur C.
Det ger oss följande ekvation för hela cisternens höjd:
Ekv.: 9x + 20 = x + 28
x = 1
Hela cisternens höjd är (28 +1) cm = 29 cm enligt figur C. |
Uppgift 4:
Svar: Klotets radie är 3 cm
Lösning:
Antag att klotets radie är r cm.
Konens generatris (AE) beräknas med Pytagoras sats:
AG = AF = 15 - r
(tangenter från punkten A)
EG = EH = 8 - r
(tangenter från punkten E)
För sträckan AE får vi då följande samband:
17 = 15 - r + 8 -r
r = 3
Fermat 2017 22 |
 |
|
|