Månadens problem
juni 2023 (lösningar)

 korthusen

a)
Svar: 40 st
Lösning:
fig. 1 till fig. 2: + 5 kort
fig. 2 till fig. 3: + 8 kort
fig. 3 till fig. 4: + 11 kort
fig. 4 till fig. 5: + 14 kort  
figur 5: 2+ 5 + 8 + 11 + 14 = 40 kort

b)
Svar: n(3n + 1)/2
Lösning:
För att få en formel gör vi på ett annat sätt: Räkna korten uppifrån och ner.
 Figur n har
 * snedställda kort: 2 . 1 + 2 . 2 + 2 . 3 ...+ 2n = n( 2 + 2n)/2
 * vågräta kort: 1 + 2 + 3 +  ... n - 1 = n(n - 1)/2
Sammanlagt: n( 2 + 2n)/2 + n(n - 1)/2 = n(3n + 1)/2
 

 triangeln
Svar: 420 cm2     
Lösning nr 1:
 Skapa en ny triangel genom att rotera den ursprungliga figuren 180o.
Sätt sedan ihop de båda trianglarna (Se figur till höger)
Arean av den nya figuren är
2 . 770 cm2 = 1540 cm2.
Den gula arean är 6 . 1540/11 cm2 = 8402.
Då är den sammanlagda arean av de gula områdena i den ursprungliga triangeln 420 cm2.
Lösning nr 2:
 Areaskalan = (längdskalan)2.
Sätt arean av den minsta gula triangeln till a.
Då är nästa gula area
(32 - 22) a = 5a
Tredje gula arean
(52 - 42) a = 9a
Vi anar ett mönster: (1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21) a = 66a
Hela triangeln: 112 a = 121a
Då är den gula arean  66 . 770/121 cm2 = 420 cm2
 

K Ö R S T R Ä C K A N
Svar: 4444 mil
Lösning:
Antag att man maximalt kan köra med ett däck x mil som framdäck och x mil som bakdäck.
Ekvation: x/4000 + x/5000 = 1
x ≈ 2222
Sammanlagt har man kört 2 . 2222 mil = 4444 mil
 

linjens ekvation
Svar: y = 17x/6
Lösning:
 Sidan AD är 15 cm enligt Pythagoras sats:
 (AD)2 = 92 + 122
AD = 15
ABCD:s area: 152 = 225
ADT:s area: 225/3 = 75
ADT:s area = 15 . DT/2
Ekv.: 15 . DT/2 = 75 
                 DT = 10
CT = 15 - 10 = 5
T delar sträckan DC i förhållandet 2:1 (10:5)
Det innebär att T har x-koordinaten 12 - 2(12 - 3)/3 = 6 och
y-koordinaten 9 + 2(21 - 9)/3 = 17
Den röda linjen har ekvationen y = kx eftersom den går genom origo.   
k = (17 - 0)/(6-0) = 17/6
Den röda linjens ekvation: y  = 17x/6
Extrauppgift
Svar: y = .  x
Lösning:
ABCD:s area: 152 = 225
ADT:s area: 225/n
ADT:s area: 15 . DT/2   De båda ekv. ger DT = 30/n
T har x-koordinaten (r)
och y-koordinaten (s)
Efter förenkling får man k = (skoord. - 0)/(rkoord. - 0) =
Den röda linjens ekvation blir y = .  x

guldmynten
Svar: Antalet guldmynt var 282.
Lösning:
Antag att antalet mynt var s.
Version 2
Antag att antalet mynt som varje tjuv får när man gör den sista delningen av mynten från borden är x.
Före denna sista delning har Adam (s/2 - x mynt),
David (s/3 - x) mynt och Jonas (s/6 - x) mynt.
Det innebär att i version 2
tog Adam 2(s/2 - x), David 3(s/3 - x)/2 och Jonas 6(s/6 - x)/5 från den ursprungliga mynthögen, som bestod av s mynt.
Det ger ekvationen
2(s/2 - x) + 3(s/3 - x)/2 + 6(s/6 - x)/5 = s
s - 2x + s/2 - 3x/2 + s/5 - 6x/5 = s            
Multiplicera alla termer med 10
10s - 20x + 5s -15 x + 2s - 12x = 10s
7s = 47x

s och x är positiva heltal. s måste innehålla faktorn 47 och dessutom faktorn 6, eftersom s är delbart med 6 (Jonas fick ju 1/6 av s)
Då måste s minst vara lika med 47 * 6 = 282.
s kan inte innehålla ytterligare någon faktor >1 för då blr s >500, vilket strider mot förutsättningarna i uppgiften.

 
Tillbaka