Månadens problem
juli 2011(lösning)

 
I tangentens riktning
Lätt:
Svar:
Radien är 7 cm.
Lösning:
Antag att radien är r cm.
Pytagoras sats på den rätvinkliga triangeln ABO ger:
r2
+ 242 = (r + 18)2
r2
+ 576 = r2 + 36r + 324
       36r = 252
          r = 7
 Svår:
Specialfall:
Om tangenten är parallell med diametern AB är sträckorna A
A1 och BB1 lika långa som cirkelns radie.
Det betyder att
AA1 BB1 = r2
Därmed vet vi svaret. Nu gäller det att bevisa det också.
Svar: A
A1 . BB1  =  r2
Bevis:
A
A1 = a och BB1 = b
(två tangenter från samma punkt är lika långa).

Trianglarna
AA1C, BB1C och DOC är likformiga (Likvinkliga trianglar)
Likformighet ger
a/r = AC/CD
b/r = BC/CD
Multiplicera ledvis!

ab/r
2 = AC BC/(CD)2

Men enligt korda-tangentsatsen är
ACBC = (CD)
2
Alltså är ab = r
V.S.B.

 

 

 


Bevis för korda-tangentsatsen finns här

 Tillbaka     Tillbaka till Klurigt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tillbaka