Svar:  
Lösning:
Antag att sannolikheten för att få "krona" är x.
Sannolikheten för att få "krona" i båda kasten blir då x².
Komplementhändelsen ("krona" - "klave", "klave" - "krona", "klave" - "klave")
är 1 - x².
Upplysningen att "krona" - "krona" är dubbelt så sannolikt som komplementhändelsen ger ekvationen:
x² = 2(1 - x²)
x² = 2 - 2x²
3x² = 2

Svar: Förhållandet mellan diamantens delar är 19:1 
Lösning:
Antag att de två delarnas vikt är x och y.
Deras sammanlagda värde är 120000 kr - 11400 kr = 108600 kr
k är proportionalitetsfaktor
Innan diamanten gick sönder, gällde att k ^. (vikten)² = 120000
Vikten = x + y.  Därför är k = 120000/(x + y)²
När diamanten har gått sönder, gäller
k ^. x² + k ^. y² = 108600            Byt ut k mot 120000/(x + y)²

Uppg. 5:
a)
Svar: Sträckan AP är 10 cm eller 6 cm.  
Lösning:

AP = x, PM = 12 - x, BP = y och CP = z
Vi börjar med att titta på triangeln BCP:
Enligt Apollonius teorem (200-talet f. Kr) för medianer gäller att BP² + CP² = 2PM² + BC²/2
Klicka här för att se beviset

y² + z² = 2 ^. (12 -x)² + 8²/2
y² + z² = 2(12 -x)² + 32
Addera x² till båda leden!
x² + y² + z² = x² +2(12 -x)² + 32
x² + y² + z² = 3x² - 48x + 320
Vänsterledet är summan av kvadraterna på avstånden från P till de tre triangelhörnen.
Högerledet visar att kvadratsumman endast är beroende P:s läge på medianen AM.
Enligt uppgiften är 3x² - 48x + 320 = 140
x² - 16x + 60 = 0
x₁ = 10
x₂ = 6

b)
Svar: Sträckan AP är 8 cm, när summan av kvadraterna på avstånden från P till de tre triangelhörnen är så liten som möjligt
Lösning:
f(x) = 3x² - 48x + 320     Derivera!
f ' (x) = 6x - 48
f ' (x) = 0 6x = 48
                   x = 8
(x = 8 x² + y² + z² = 128)