Efter
de deprimerande PISA-rapporterna är det intressant att se
svårighetsgraden på ett par
uppgifter från 1944: Övningsexempel i matematik för realgymnasiet,
R
I3 (Bengt Lindvall).
Ex.
1:
Lösning:
OBS! Med avståndet från punkten C till tangenten menas
det kortaste avståndet (= det vinkelräta avståndet) från
punkten C till tangenten.
Om AC = CD, måste punkten C ligga längre från tangenten än
vad cirkelns medelpunkt (O) gör.
Avståndet AC = CD = x
och sträckan AE = 4 - x och
sträckan EO = 2 - (4 - x) = x -2
Sträckan CE = h
Tillämpa Pytagoras sats på
trianglarna AEC och CEO.
(4 - x)2 + h2 = x2 (x - 2)2 + h2 = 22 Efter förenkling av ekvationssystemet
får vi x2 + 4x - 16 = 0
Ex.
2:
Svar:
Areorna är 8 7/16 cm2,
2,4 cm2 och 10 67/80 cm2 Lösning:
De blå områdena är de
uppvikta hörnen och de gula områdena är de, som inte är
övertäckta.
För att få fram den inskrivna cirkelns radie, beräknar vi först
hypotenusan med Pytagoras sats.
(BC)2 = 82 + 152 BC
= 17 cm Beräkning av radien
Areankan räknas ut på två sätt.
Det ger ekvationen
8 . 15/2 = 40 . r/2
(Om triangeln delas in i tre deltrianglar med sidorna som baser
och radien som höjd, blir de sammanlagda baserna = triangelns
omkrets = 40 cm)
r = 3
Beräkning av arean av triangeln DEO (O = den inskrivna cirkelns medelpunkt) BE = BH = HO = EO = x
Då är DE = 15 - 3 - x = 12 - x
Pytagoras sats på triangeln DEO ger (12 - x)2 +
32 = x2 x = 51/8
Då är basen DE = 12 - 51/8 = 45/8 Beräkning av arean av triangeln FGO CF = CI = FO = IO = y
Då är FG = 8 - 3 - y = 5 - y
Pytagoras sats på triangeln FGO ger (5 - y)2 +
32 = y2 y = 17/5
Då är höjden FG = 5 - 17/5 = 8/5 Beräkning av arean av triangeln HIO
Anm. 1: Beräkning av sträckorna kan också ske genom att
utnyttja likformiga trianglar. Anm. 2: Summan av arean av triangeln FGO och arean av triangeln DEO
är lika stor som arean av triangeln HIO.
Ett allmängiltigt bevis (som gäller för alla rätvinkliga
trianglar) kan se ut så här: De tre
trianglarna är likformiga.
Areaskalan är då proportionell mot (längdskalan)2
Sträckan HI är
Jag jämför hypotenusorna i de tre trianglarna, när jag använder
areaskalan. V.S.B.
