Tomtens lön
Svar: Det första alternativet (67 332 kr) är fördelaktigast.

Lösning:
Använd formeln för den aritmetiska serien.
Summan (S) är lika med antalet termer (n) gånger medelvärdet av den första (t₁) och den sista termen (t_n).        S = n(t₁+ t_n)/2
Alternativ 1:

A.	Summan av alla tal jämnt delbara med 3: 333(3+999)/2 = 166 833
B.	Summan av talen, som är jämnt delbara med både 2 och 3, dvs. delbara med 6, skall räknas bort: 166(6+696)/2 = 83 166
C.	Summan av alla udda tal, som är jämnt delbara med 3 och 5, dvs. delbara med 15, skall räknas bort: 33(15+975)/2 = 16335 Anm.: Alla jämna tal, som är jämnt delbara med 3 och 5, finns med i punkten B. ovan.
Lön: 166 833 - 83 166 - 16335 = 67 332 (kr)

Alternativ 2:

A.	Summan av alla  tal jämnt delbara med 5: 199(5+995)/2 = 99 500
B.	Summan av talen, som är jämnt delbara med både 3 och 5, dvs. delbara med 15, skall räknas bort: 66(15+990)/2 = 33 165
Lön: 99 500 - 33 165 = 66 335 (kr)

En tomtenisses lön
Uppg. 1:
Svar: Lönen 14 419 (kr)

Lösning:
A. Om första och sista siffran i lönen bytte plats, skulle lönen bli 79 992 (kr) större.
Det måste innebära att
1) lönen är ett femsiffrigt tal (i kr)
2) skillnaden mellan sista och första siffran är 8.
Bevis: Vi antar att första siffran är x och sista siffran är y.
I lönen har siffran x värdet 10000*x och siffran y har förstås värdet  y.
När siffrorna byter plats får siffran y värdet 10000*y och siffran x värdet x.
Övriga siffror påverkas inte.
Ekv.: 10000y + x - (10000x + y) = 79992  
Efter förenkling får man
9999(y - x) = 79992    y - x = 8 
Eftersom x inte kan vara noll, betyder det att x = 1 och y = 9
B. De fyra första siffrorna bildar en palindrom.
Första siffran är en etta. Då vet vi att fjärde siffran också är en etta. Den femte siffran är en nia, dvs. talet är 1??19. Dessutom vet vi att de båda frågetecknen skall ersättas av samma siffror, eftersom de fyra första siffrorna bildar en palindrom.
C. De tre mellersta siffrorna bildar ett tal, som är en jämn kvadrat.
Vi undersöker därför om det finns någon kvadrat mellan 100 och 999, som inleds med två likadana siffror och som dessutom slutar med en etta:
 

Det räcker därför att undersöka  :
112	192	212	292	312
121	361	441	841	961

21² = 441 uppfyller villkoret. Lönen är därför 14 419 kr.