Månadens problem februari 2022

rektangeln

Svar: Omkretsen är 116 cm
Lösning:
De små rektanglarna är identiska. Det måste innebära att de blå rektanglarna är roterade 90^o i förhållande till de gula rektanglarna.

Den långa sidan i de blå rektanglarna är x cm.
Då är de korta sidorna i de gula rektanglarna 0,8x cm.
Rektangeln ABCD:s sidor är 4x cm och 1,8 x cm.
Ekvation för rektangeln ABCD:s area: 4x ^. 1,8x = 720
7,2x² = 720 x² = 100 x = ± 10 (Endast det positiva värdet duger)
Rektangeln ABCD:s omkrets = 2^.4x + 2 ^. 1,8 x = 11,6x = 11,6 ^. 10 = 116 (cm)

Det fyrsiffriga talet

Svar: Talet är 1210 eller 2020

primtalen

Svar: Maja är 31 år
Lösning:
Primtalet 2 duger inte, eftersom (50 - summan av tre primtal) ska bli ett primtal.
Den minsta kombinationen av primtal, som kusinerna kan ha är 3 + 5 + 7 = 15, men då blir Majas ålder 50 - 15 = 35. 35 är inte ett primtal.
Fr.o.m. 1 juli det år man fyller 20 år har man rätt att gå på Komvux
Slutsats: 19 ≤ Majas ålder < 35
Vi undersöker vilket av primtalen 31, 29, 23 och 19 som passar in på Majas ålder.
31 år: 50 -(3 + 5 + 11) = 31. Detta är en lösning!
Finns det fler entydiga lösningar? Nej!
29 år: Här finns det två lösningar 3 + 5 + 13 eller 3 + 7 + 11
23 år: Här finns det tre lösningar 3 + 5 + 19 eller 3 + 7 + 17 eller 3 + 11 + 13
19 år: Här finns det två lösningar 3 + 11 + 17 eller 7 + 11 + 13

TRIANGELN

Svar: 42 cm² Lösning: Sätt AB = x och AD = y. Triangeln ABE BE ^.x/2 = 60 BE = 120/x Då är CE = y - 120/x Triangeln ADF DF ^.y/2 = 72 DF =144/y Då är CF = x - 144/y
Triangeln CEF:s area: Rektangelns area = xy = z = 180 cm² Då är triangeln AEF:s area = (180 - 6 - 60 - 72 ) cm² = 42 cm²

mötet

Svar: Lukas och Emma möts klockan 17.25
Lösning:
Antag följande hastigheter:
Tåget x m/s, Lukas y m/s och Emma z m/s
Fall 1: Tåget kör ikapp Lukas:
          Under tiden som tåget passerar Lukas, har han gått 5y m
          Därför är tågets längd: (5x - 5y) m
Fall 2: Tåget möter Emma:
          Under tiden som tåget passerar Emma, har hon gått 4z m
          Därför är tågets längd: (4x + 4z)
Ekv.: 5x - 5y = 4x + 4z
                x = 5y + 4z (1)
Avståndet från den punkt där tåget hinner ifatt Lukas till den punkt där tåget möter Emma är 300x m (Tiden från kl. 17.00 till 17.05 är 5 min = 300 s)
Men kl. 17.05 är avståndet mellan Lukas och Emma (300x - 300y) m
(eftersom Lukas har gått i 5 min från den tidpunkt tåget hann ifatt honom)

x = 5y + 4z (1) insatt i 300x - 300y ger 300(5y + 4z) -300y = 1200(y + z) (m)

Kl. 17.05 är alltså avståndet mellan Lukas och Emma 1200(y + z) m och deras sammanlagda hastighet: (y + z) m/s
Tid: 1200(y + z)/(y + z) s = 1200 s = 20 minuter
Kl. 17.05 + 20 min = kl. 17.25

Extrauppgift:
Se feb22_8_generellt.pdf