Månadens problem
december 2020 (lösning)

TOMTENS JULKLAPPSSÄCK 

Svar: Tomten har 74 julklappar i sin säck.
Lösning:
1) Om tomten hade  haft ytterligare en julklapp, hade antalet varit delbart med 5.
Det innebär att antalet julklappar i säcken måste ha entalssiffran 4 eller 9.
2) Tiotalssiffran kan inte vara ett jämnt tal, för i så fall skulle man inte få ett primtal, när man kastar om siffrorna.
3)Tiotalssiffran kan inte heller vara talet 5, för i så fall skulle man inte få ett primtal, när man kastar om siffrorna.

Vi ska alltså undersöka talen 34, 39, 74, 79, 94 och 99.
Av dessa tal är det 34, 74 och 79 som blir primtal, om man kastar om siffrorna.
4)  Om tomten hade  haft en julklapp mindre, hade antalet varit ett  primtal.
Talet 74 - 1 = 73 är ett primtal!
 

silversmycket


a)
Villkor:

Endast om EA och EB är tangenter till den nedre resp. övre cirkelbågen finns det en entydig lösning till de här uppgifterna.
Lösning:
EA och EB är tangenter och bildar 90 grader med radien till tangeringspunkten.
Då är vinkeln AOB = 360 - 3*90 = 90 grader (fyrhörningen ACBO)
Då är radierna OA och OB också 2 cm och medelpunktsvinkeln för varje sektor är 90 grader.
Då är de fyra cirkelbågarna lika stora.
b) Arean är 8 cm2
Lösning:
AB = BC = CD = DA =
cm (Pythagoras sats)
Genom att flytta övre och nedre cirkelsegmenten
inser man att arean =

c) Omkretsen är 4 cm ≈ 12,6 cm
Lösning:

Cirkelbågarna bildar tillsammans omkretsen av en cirkel.
O = . d
O = . 4 cm ≈ 12,56 cm

god jul!

Svar: J = 4, U = 6, L = 1, M = 5, Y = 3, S = 8
Lösning:
7(JULMYS) = 6(MYSJUL)
Ersätt det tresiffriga talet JUL med x  och det tresiffriga talet MYS med y
Ekv.: 7(1000x + y) = 6(1000y + x)
               6994x = 5993y    Dividera båda leden med 13
                 538x = 461y     Går ej att förenkla mer, eftersom 461 är ett primtal.
Slutsats: Eftersom x och y är heltal, måste x = 461 och y = 538
             J = 4, U = 6, L = 1, M = 5, Y = 3, S = 8

multiplikationen

a) Svar:  1111 . 101 = 1001011
Lösning:
Talen på varje rad börjar med en etta.
Produkten på fjärde raden är
förskjuten två steg. Då är andra siffran på andra raden 0.
Produkten innehåller sju siffror.
Genom resonemang om nödvändiga minnessiffror kan man komma fram till att andra siffran i översta raden är 1 och att andra och tredje siffran i svaret är 0 (figuren överst till höger).

Men fjärde siffran i svaret kan bli 1, endast om de två sista siffrorna på första raden är ettor. (Se figur till höger)



 


b) Svar: Talsystemet har
             basen 8
            (Oktala systemet)
Lösning:
1001011(bas 2) = 26 + 23 + 21 + 20 = 64+8+2+1 = 75(bas 10)
Antag att det nya talsystemets bas är x
1 . x
2 + 1 . x1  + 3 . x0 = 75
                x
2 + x  + 3 = 75
               x
2 + x  - 72 = 0
      
c) Svar:
I datorer
Det oktala talsystemet har använts vid programmering av datorer.
Numera det hexadecimala
talsystemet (talsystem med basen 16) vanligare vid datorprogrammering.

Folkslag som räknat med det oktala talsystemet
Man tror att de inte räknade på fingrarna utan på mellanrummet mellan fingrarna (ursprungsfolket Yuki i Kalifornien) eller på knogarna i stängda nävar (folk i Mexiko som talade språket Pame)

Karl XII och Swedenborg
Karl XII ville införa ett talsystem med basen 64, men Swedenborg avrådde honom. Man skulle visserligen kunna skriva stora tal med få siffror, men talsystemet skulle å andra sidan innehålla 64 olika tecken för siffror och det skulle bli besvärligt för "personer med ringare fattningsförmåga än Ers Majestät", sade Swedenborg.
Istället rekommenderade han det oktala talsystemet, men det kom aldrig användas i Sverige.
 

 mattelektionen

 
Svar: 5,1 cm2
Lösning:
Område 1:
Flytta område 1 till det blå fältet.
 

Område 1 + område 2
Område 1 + 2 är då lika med arean av triangeln AEH.
Triangeln AEH har basen AE = 3 cm.
Triangeln AEH är likformig med triangeln BCH. Likformighet ger att höjden i triangeln AEH är 2 cm.
Arean av triangeln AEH =
3 . 2/2 cm2 = 3 cm2

Återstår område 3:
Vinkeln ABE = OEG (alternatvinklar)= OGE (triangeln OEG är likbent) = v
Då är vinkeln GOJ = 2v (Yttervinkelsatsen)
Men sin 2v = 2 . sin v . cos v
Enligt triangeln ABE är sinv = och cos v=
Då är sin 2 v =
Höjden GJ till triangeln EGO är 3 . sin 2v = 3 . 4/5 = 2,4 (cm)

Område 3:
Arean av triangeln GHO = Arean av triangeln EGO - arean av triangeln EHO
I triangeln EHO är basen EO = 3 cm. 
Triangeln EHO är likformig med triangeln ABH. Likformighet ger att höjden i
triangeln EHO är 1 cm.
A = 3 . 2,4/2 cm2 - 3 . 1/2 cm2 = 2,1 cm2

Alla tre områdena: 3 cm2 + 2,1 cm2 = 5,1 cm2

Tillbaka