|
Tomtens
kängor |
Svar: 42
Lösning:
Vi får förutsätta att tomtefar har normalt stora fötter. Eftersom den ena
siffran är dubbelt så stor som den andra, kan bara skonumren 36, 42 och 48 vara
aktuella.
Vidare ska man kunna skriva en potens med hjälp av de två siffrorna så att
svaret blir detsamma oberoende av vilken av siffrorna man väljer som bas.
42 = 16 och 24 = 16 uppfyller det villkoret. |
|
|
Tomtens
kalender |
Svar: 82 dagar (från den 3
oktober).
Lösning:
7x + 22 y = 136
7x = 136 - y
x = (136 -
22y)/7
x är månadens nummer, dvs. 1£x£12
där x är ett naturligt tal.
Därför är det bara aktuellt att undersöka y = 3, 4, 5 och 6
| y = 3
x = (136 - 66)/7 |
x = 10 |
Duger! |
| y = 4
x = (136 - 88)/7 |
x = 6,857...
|
Duger inte. |
| y = 5
x = (136 -110)/7 |
x = 3,714... |
Duger inte. |
| y = 6
x = (136 -132)/7 |
x =
0,571... |
Duger inte. |
|
|
|
|
Tomtnissarnas luvor |
Lösning:
Använd ett s.k. induktionsbevis:
Om endast en tomtenisse har röd luva, tänker denne:
- Minst en ska ha en röd luva, men jag ser ingen. Då måste det vara jag!
Han går därför ut nästa hela timma, dvs. kl. 10.
Om två tomtenissar har röd luva, tänker båda:
- Jag kan bara se en röd luva. Finns det ingen ytterligare röd luva,
kommer den tomtenissen, som har den röda luvan, att lämna rummet kl. 10.
När inget händer kl. 10, inser båda att de måste ha en röd luva. De
kommer därför att lämna rummet kl. 11.
Med samma resonemang kommer de 15 tomtenissarna, som alla har röda
luvor, att lämna rummet på den 15:e hela timman, dvs. kl. 24.00. |
|
|
|
Intervallträning |
Svar: Tomtenissarna ska välja
skåpen men nummer 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 och 100.
Lösning:
De nummer som inte är
kvadrater:
Man kan direkt konstatera att för alla lås, vilkas nummer är primtal
(p), gäller att de ändras bara av tomten första gången samt under rundan
nr p. Dessa skåp är alltså låsta.
Allmänt gäller för de nummer som inte är kvadrater: Ett sådant nummer
(n) är
delbart med tal, som parvis ger produkten n. Nettoeffekten blir därför
att skåpet är låst.
De nummer, som är kvadrater: Ett sådant nummer (n) är delbart med
 , men eftersom faktorn
bara räknas en gång, ändras låset ett udda antal gånger. Dessa skåp (1,
4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 och 100) är därför olåsta. |
|
|
|