Månadens problem augusti 2021

Månadens problem
augusti 2021 (lösning)

Problem för hängmattan och badstranden del 2

geometrisk formel

Svar: Formeln för parallelltrapetsets area
Lösning:
De två violetta trianglarna är lika stora
(likformiga och kongruenta).
Parallelltrapetsets ABCD:s area kan därför ersättas av triangeln ADE.
Triangelns area = parallelltrapetsets area =

KUl matematik

Svar: 270
Lösning:
KUL/(K+U+L) = 30
KUL = 30(K+U+L)
Talet i högra ledet slutar med en nolla. Då måste också vänstra ledet sluta med en nolla, dvs. L = 0.
Värdet av det tresiffriga talet KUL är 100K + 10U + L
Ekvation: 100K + 10U + L = 30K + 30U + 30L
Eftersom L = 0 kan ekvationen skrivas
100K + 10U = 30K + 30U
K = 2U/7
U = 7 är det enda värde som ger ett heltalsvärde för K. K blir då 2.
Det enda tresiffriga tal KUL, som uppfyller villkoret är 270.

Parallelltrapetset

Svar: Alla de tre okända sidorna är 8 cm
Lösning:
Av texten framgår inte vilken av de parallella sidorna som är 12 cm. Vi prövar att låta AB = 12 cm. Om det är ett felaktigt antagande, kommer uträkningarna att visa det, men det påverkar inte lösningen av uppgiften.
Låt AD = BC = x. Då är CD = 24 - 2x
och AE = (12 - (24 - 2x))/2 = x - 6
Pytagoras sats på triangeln ADE ger
(DE)²+ (x - 6)²= x²

Derivera för att hitta maximala arean! Arean = f(x)
f ' (x) =

Sätt f '(x) = 0

= 0
6(18 - x) = 12x - 36
        18x = 144
           x = 8

lackeringen

Svar:
Lösning:
Antag att minutvisaren rör sig x grader under lackeringen.
Då rör sig timvisaren
1) (360 - x) grader
2) När minutvisaren rör sig x grader rör sig timvisaren x/12 grader.
    (Minutvisaren rör sig 12 ggr så snabbt som timvisaren)
Ekv.: x/12 = 360 - x
        x = 4320 -12x
        x = 4320/13    (grader)
På 1 minut rör sig minutvisaren = 360/60 grader = 6 grader
Lackering:

Kortspelet

Svar: Sannolikheten att Adam vinner är 7/15
Lösning:
Pelle P. har föreslagit den här lösningen:
Bianca kan vinna på två sätt.
Sannolikheten att Bianca vinner:
Fall 1: När de lagt ut två kort var, har Bianca lagt ut en familj, men inte Adam.
         Sannolikheten blir en kombination av att Adam misslyckas och Bianca lyckas
         Sannolikhet: 4/5 ^. 1/3 = 4/15
Fall 2: När Adam lagt ut tre kort har han inte lagt ut en familj, men det har Bianca.
         Sannolikheten blir en kombination av att Adam misslyckas att få en familj
         både när han lägger ut det andra och tredje kortet, medan Bianca misslyckas
         när hon lägger ut det andra kortet men lyckas när hon lägger ut det tredje
         kortet.
         Sannolikhet: 4/5 ^. 2/3 ^.2/4 ^.1/1 = 4/15
                              A₂B₂ A₃B₃Sannolikheten att Bianca vinner är 4/15 + 4/15 = 8/15
Sannolikheten att Adam vinner är då 1 - 8/15 = 7/15