Månadens problem
augusti 2019 (lösning)

 

Problem för hängmattan och badstranden   del 2     
Uppg. 1:
Svar: 3/16
Lösning:
Det gula och det röda området är
tillsammans 1/4 av kvadratens area.
Det röda området är 1/16 av kvadratens area.
Då är det gula området 1/4 - 1/16 av kvadratens area = 3/16 av kvadratens area.
 
 
Uppg. 2:
Svar: 
168 tal
Lösning:
Villkoret att alla siffror ska vara olika, medför att den första siffran måste vara 6, 7, 8  eller 9
(i de röda rutorna).
Den första siffran är lika med summan av de övriga siffrorna (i de vita rutorna ) i varje rad.
De övriga siffrorna kan kastas om på
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 sätt.

Tabellen till höger innehåller sju rader.
Därför finns det 7 . 24 = 168 femsiffriga tal med de egenskaper som anges i uppgiften.


 
Uppg. 3:
Svar:
Sannolikheten för att åtminstone en ska klara examen är 91 %
 
Lösning:
Sannolikheten för att att inte klara examen är respektive 0,6  0,5 och 0,3
Sannolikheten för att ingen ska klara examen är 0,6 . 0,5 . 0,3 = 0,09
Sannolikheten för att åtminstone en ska klara examen är 1 - 0,09 = 0,91 =91 %
 
Uppg. 4:
a) Svar:
29, 92, 38, 83, 47, 74, 56, 65
 
Lösning:
Antag att man startar med talet 10x + y
Talet med omkastade siffror är är då 10y + x
Summan v de båda talen är
(10x + y) + (10y + x) = 11(x + y)
Eftersom detta tal är en jämn kvadrat och 11 är ett primtal, måste
(x + y) = 11.
Det gäller med andra ord att hitta de tal i intervallet 20 - 99, där summan av tiotalssiffran och entalssiffran är 11.
 
Uppg. 5:
a) Svar:
23/25
 
Lösning:
När sträckorna AE och DC förlängs, skär de varandra i punkten F.
Man kan lätt visa att trianglarna ABE och CEF är likvinkliga och därmed likformiga.
Det medför också att triangeln AFD är likbent. Då är sträckan CF = 12 cm - 9 cm = 3 cm.
 
Antag att höjden i parallelltrapetset är h och höjden i triangeln ABE är x.
Då är höjden i triangeln CEF h - x
Likformighet för trianglarna ABE och CEF ger att x = 5h/6
Arean av parallelltrapetset är h(15 + 9)/2 = 12 h
Arean av triangeln ABE är
Arean av fyrhörningen ADCE är 12h - 25h/4 = 23h/4
Förhållandet mellan den röda och gula arean är 23/25
Extrauppgift
Lösning:
1. Kh7!!, h4
2. Kg6, h3
3. Kg5, h2
4. Kg4, h1D
5. Kg3! och tornet sätter matt på a1 i nästa drag

Om vit hade tagit bonden på g7, hade svart vunnit genom att gardera matthotet på a1 med 5. -, Dh8!

Bonden på g7 inser att
den hindrar damen, svart blir matt.

 

Tillbaka