Månadens problem augusti 2016

hästen

Svar: 15 m
Lösning:
Man inser att arean 175

m²innebär att
längden av linan, x m, ligger i intervallet
10 < x < 20 m (3 ^.10²

/4 < 175

och
3 ^.20²

/4 > 175

)
Arean består därför att en trekvartscirkel med radien x m och en kvartscirkel med
radien (x - 10) m.

Ekv.:
3x²

/4 + (x- 10)²

/4 = 175

Efter förenkling får man x² - 5x = 150
x₁= 15 (x₂= - 10)

Larven

Svar: 31 dm Lösning: De blå sträckorna, som larven kryper, är tillsammans lika långa som sträckan AC. På samma sätt kan de röda sträckorna ersättas av sträckan CB. Antag att sträckan AC är x dm och sträckan CB y dm. Då är sträckan AB (x + y - 6) dm.
Pytagoras sats ger x² + y² = (x + y - 6)² Efter förenkling får vi 18 + xy - 6x - 6y = 0	Eftersom x och y är heltal gäller det att hitta de heltal som satisfierar ekvationen. y = 7 => x= 24 x + y = 31 y = 8 => x= 15 x + y = 23 y = 9 => x= 12 x + y = 21 (y = 12 => x= 9 x + y = 21 y = 15 => x= 8 x + y = 23 y = 24 => x= 7 x + y = 31)

myran och ångvälten

Svar: Vinkeln v är 27,0 grader (och sträckan AB är 2,55 m.)
Lösning:
Antag att sträckan AB är x m.
Tiden för ångvälten att komma till punkten A blir

s (t = s/v)

Sträckan AD blir enligt Pytagoras sats

s
Tiden för myran att komma till punkten A blir då

Tiden som funktion av x för skillnaden mellan ångvältens och myrans tider blir
t(x) =

Detta max.problem kan vi lösa genom att sätta funktionens derivata lika med 0.
t`(x) = 0 blir

Den andra termen i vänstra ledet flyttas över till högra ledet.
Multiplicera båda leden med minsta gemensamma nämnaren och kvadrera sedan båda leden.

Efter förenkling får vi	v ≈ arctan 2,55/5 v ≈ 27,0 grader
Om vi ersätter x med 2,55 i funktionen t(x) får vi tidsskillnaden till 0,18 s. Med andra ord en väldigt snäv tidsmarginal även i det mest optimala fallet. Pelle Pels skriver: "Hade jag varit myra, hade jag väntat tills ångvälten kört förbi.

Anm.: Kan en myra verkligen komma upp i så hög hastighet som 0,5 m/s?
Enligt zoologen Johan Lind har man faktiskt mätt upp hastigheten 0,5 m/s för en vandringsmyra i Sydamerikas regnskogar, men för de flesta myror är hastigheten betydligt lägre, kanske 5 cm/s.
Myrfrågor (Sveriges Radio)