Månadens problem april 2024

koden

Svar: Acht
Lösning:
Koden, som portiern använder, går ut på att tyskarna ska svara med antalet bokstäver i det ord som portiern säger.
När portiern säger Vierzehn (åtta bokstäver), ska Michel svara Acht.

sex tal

Svar: Talen är 56, 8, 32, 20, 26 och 23
Lösning:
Utgå från det tredje talet (x) och beräkna b och a och sedan c, d och e.

b + 2x = 72
a + 2(72 - 2x) = 72
x + 2c = 72
36 - x/2 + 2d = 72
18 + x/4 + 2e = 72          b = 72 - 2x
a = 4x - 72
c = 36 - x/2
d = 18 + x/4
e = 27 - x/8

1 2 3 4 5 6

a b x c d e

4x - 72 72 - 2x x 36 - x/2 18 + x/4 27 - x/8

Av kolumn 1 och 2 i tabellen framgår att 18 < x < 36.
Enligt kolumn 6 kan då x vara 24 eller 32.
x = 24 => alla talen är 24. Det strider mot förutsättningarna i problemtexten.
x = 32 => a = 56, b = 8, x = 32, c = 20, d = 26 och e = 23

hur långt är Tåget?

Svar: 240 meter
Lösning:
Antag att tågets hastighet är x och att Adams och Bellas hastighet är y.
För Adam blir tågets relativa hastighet (x - y) och för Bella blir den (x + y).
Sträckan som Adam och Bella har gått när tåget har passerat dem är omvänt proportionell till tågets relativa hastighet.

Ekv.: (x - y)/ (x + y) = 30/40
               4x - 4y = 3x + 3y
                      x = 7y
Slutsats: Tågets hastighet är 7 gånger så stor som Adams och Bellas hastigheter.

Tågets relativa hastighet för Adam är 7y - y = 6y och för Bella 7y + y = 8y

Antag att tåget är z meter.
Det tar lika lång tid för tåget att köra z meter med hastigheten 6y förbi Adam som för Adam att gå 40 m med hastigheten y.

Ekv. z/6y = 40/y
           z = 240

rektanglarna

Svar: Rektanglarna har lika stor area.
Lösning:

Alt. 1:
Den streckade rektangeln har längre långsida men kortare kortsida än den heldragna rektangeln. De har ändå lika stor area. Det kan man bevisa med likformighet.

Trianglarna ABD och CDG är likvinkliga och därför likformiga.
Den streckade triangeln
Basen DF = CG = b (se fig.)
Hypotenusan i ABD och CDG
är k gånger så lång som den längsta kateten (k>1).
Om kateten AD kallas h, blir
hypotenusan BD = den strec-kade rektangelns höjd = h ^. k.
Den streckade rektangelns Arean: bhk.

Den heldragna rektangeln
Basen CD = b ^. k och
höjden = h

Arean = b ^. k ^.h = bhk

Slutsats: Arean av de två rektanglarna är lika stora.

Alt. 2: En elegant lösning!

fig. 1 = fig. 2 och
fig. 3 = fig. 4

Halva den streckade rektangeln ligger alltså utanför den heldragna rektangeln.
Eftersom 1 och 3 täcker halva den heldragna triangeln kan man använda 2 och 4 till att täcka triangeln ABD.
Alltså är rektanglarna lika stora.

den blå triangeln

Svar: Blå triangelns area är 30 cm²
Lösning:
Om man kan visa att den gröna, blå och gula triangeln i figuren till höger täcker halva rektangeln, så blir lösningen enkel.
Bevis:

Använd två uttryck för halva rektangeln area och skriv en ekvation:
x + y + 24 = y + 54
x = 30