Klurigt nr 5 (lösningar)
Ett jordnära problem? 
En grop innehåller väl inte jord, om den riktigt grävd! 

Tour de France
Den åkare som kom på den mellersta platsen, har lika många åkare före som efter sig. Eftersom han kom före svensken på 42:a plats kan han sämst vara 41:a. Om han kom på 40:e plats skulle antal åkare i mål vara 79 st., vilket är orimligt, eftersom en av svenskarna kom på 80:e plats. Nr 41 är alltså den mellersta platsen och antalet cyklister i mål blir 40 + 1 + 40 = 81.

Det falska myntet
  1. Dela upp mynten i tre lika stora högar (9 + 9 + 9 mynt) och väg två av högarna. 
  2. Den lättaste högen innehåller det falska myntet och delas i sin tur upp i tre högar (3 + 3 + 3 mynt).
  3. Två av högarna vägs.
  4. Väg två av mynten i den lättaste högen.
  5. Om de två mynten väger olika mycket, är det lättare myntet falskt. Annars är det tredje myntet falskt.

Den försvunna diamanten I

Lösningsalt. 1: Vi antar att diamanten placeras slumpmässigt.
Följande tre fall kan erhållas:    D=diamant   T=tom låda

Omg. 1 Omg. 2 Omg. 3

D

T

T

T

D

T

T

T

D

Om jag bara får välja en låda i varje omgång, kan jag lika gärna alltid välja t.ex. den mellersta lådan.
Sannolikheten för att jag hittar diamanten är då 1/3.
Om jag istället konsekvent byter låda, blir sannolikheten 2/3. Jag "byter bort mig" i omgång 2, men vinner på bytet i omgång 1 och 3.
Lösningsalt. 2: Om jag slumpmässigt öppnar en låda, är sannolikheten för vinst 1/3. Om jag byter ser jag till att två lådor av tre öppnas. Sannolikheten är därför 2/3.
Anm.: Idén till problemet kommer från USA. När Marilyn Vos Savant (redaktör för en matematisk tidskrift) gjorde en korrekt analys av problemet, fick hon nästan hela läsekretsen mot sig. Även flertalet av de akademiker, som deltog i debatten, ansåg att hon hade fel.

Den försvunna diamanten II

Ja, det spelar roll, om man byter låda.
Sannolikheten för att hitta diamanten är 2/3 om du inte ändrar dig, men bara 1/3 om du byter låda.
Lösningsalt. 1: Du kan konstruera en lösningsmodell av samma typ som i "Den försvunna diamanten I".
Lösningsalt. 2: Om jag slumpmässigt öppnar en låda, är sannolikheten för vinst 2/3, eftersom det finns en diamant i två lådor av tre. Om jag byter, minskas sannolikheten till 1/3.

Hängbron
Alexander (A), Britt (B), Cecilia (C) och David (D).

Det finns flera sätt att lösa det här problemet. Här visas ett par varianter:

Händelse

 Tid Total tid

Lösning nr 1:
A och B går över bron. 10 min 10 min
A går tillbaka. 5 min 15 min
C och D går över bron. 20 min 35 min
B går tillbaka. 10 min 45 min
A och B går över bron. 10 min 55 min
Alla har nu kommit över på andra sida bron inom en timme!
Lösning nr 2:
A och B går över bron. 10 min 10 min
A går tillbaka. 5 min 15 min
A och C går över bron. 15 min 30 min
A går tillbaka. 5 min 35 min
A och D går över bron. 20 min 55 min

Huvudräkningsspelet Plump

Kommentar: PLUMP intresserar elever i alla åldrar. Av äldre elever kan man även kräva, att de skriftligt visar att de använder parenteser och prioriteringsregler på ett korrekt sätt.

Vilka kom med i golflandslaget?
John, Mats, Lars och Bengt kom med i golflandslaget (Se tabell).

Namn

Platssiffror

 Summa
platssiffror		 Inbördes
placering
Tävling
1 2 3 4 5
Mats 1 4 2 6 7 20 2
Claes 3 3 8 1 8 23 5
Patrik 8 2 6 4 5 25 7
Bengt 6 7 1 7 1 22 4
John 4 1 5 2 6 18 1
Niklas 5 5 7 8 2 27 8
Lars 2 8 4 3 4 21 3
Jens 7 6 3 5 3 24 6


 

Var bor Hanna, Jessica och Kristina?
Lätt:
Svar: Hanna finns på mittpunktsnormalen till sträckan mellan kyrkan och Folkets hus.
Lösning:
Alla punkter på mittpunktsnormalen ligger lika långt från sträckans ändpunkter.
 

Medel:
Svar: Jessicas hus finns på cirkelbågen till cirkeln med sträckan kyrkan - Folkets Hus som diameter.


Lösning:
Rita en cirkel med sträckan kyrkan - Folkets Hus som diameter.
Eftersom periferivinkeln (randvinkeln) på en halvcirkelbåge är rät, kommer Jessicas hus att ligga på cirkelbågen.
 
Svår:
Svar: Kristinas hus finns på cirkelbågen. Se fig. nedan.
Bevis:
Cirkeln placeras så att avstånden från medelpunkten till kyrkan, Kristina och Folkets Hus förhåller sig som 1:2:4. Vidare gäller att radien = avståndet från medelpunkten till Kristinas hus.
Triangeln OCA är likformig med triangeln OAB.
Ekv.: a/2a=x/y dvs. y = 2x  V.S.B.
Anm.: Påståendet att Kristinas hus finns på cirkelbågen gäller även om Kristinas hus, kyrkan och Folkets Hus ligger på en rät linje.

|Tillbaka|