Klurigt nr 24 (lösningar)

Klurigt nr 24 (lösningar)

Schackturneringen

Svar:
a) 28 partier b) 6 poäng
Lösning:
a) Varje spelare spelar sju partier. 8 x 7 = 56 men då har vi räknat varje parti två gånger. Antalet partier är därför 56/2 = 28.
Ett annat sätt att uttrycka detta är
b) Segraren kan högst ha sju poäng. I så fall har han vunnit mot alla spelarna och tvåan kan då ha högst sex poäng.
Anm.: Tvåan kan inte ha 6½ poäng, för i så fall skulle ettan och tvåan båda ha 6½ poäng (efter remi i det inbördes partiet.)

Den hemliga koden
Svar: Dörrvakten vill veta antalet bokstäver i det räkneord, som han säger!

Trafikolyckan
Svar:
Dr. Meier var pojkens mamma.

Hur gammal är doktor Altmann?

Svar: 39 år och 9 månader
Lösning: Dr. Alltmann är alltså en kvinna.
Dr. Altmanns vikt är 40 kg plus hälften av hennes vikt, dvs. 80 kg.
Eftersom indexet vikt/ålder > 2, måste dr. Altmann vara under 40 år. Det stämmer med den beskrivning som kvinnan gav ("Om tre månader fyller jag fyrtio.")

Ett år utan OS
Svar: Jag är född 1940.
Lösning: Mellan 1900 och 2000 finns endast en kvadrat, nämligen 44² =1936
Därför n² + n = 44² + 44 = 1936 + 44 = 1980.
1980 var jag 10*a + b år:
Eftersom jag är född 1900 + 10*a + b får vi följande ekvation:
1900 + 10*a + b + 10*a + b = 1980
20a + 2b = 80
10a + b = 40
Alltså är 1900 + 10*a + b = 1900 + 40 = 1940

Anm.: Rubriken "Ett år utan OS" syftar på att OS ställdes in 1940 p.g.a. andra världskriget. De olympiska ringarna symboliserar de fem världsdelarna.

Ett generellt samband
Svar:
a) Talet är 18.
Lösning:
Antag att talet är x
Ekv.:
7(x - 7) = 11(x - 11)
7x - 49 = 11x - 121
        72 = 4x
         x = 18

Lösning:
b)
a(x - a) = b(x - b)
ax - a²= bx - b²x(a - b) = a²- b²
x(a - b) = (a + b)(a - b)   Dividera med (a - b) i båda leden.
        x = a + b
Slutsats: Det sökta talet är är alltid summan av de två talen a och b. I uppgift a är därför det sökta talet 7 + 11 = 18

Färjorna

Svar: Avståndet mellan färjelägena är 1700 m.

Lösning:

När färjorna möts första gången, 700 m från färjeläge A, har de tillsammans kört sträckan mellan färjelägena. När de möts nästa gång, 400 m från färjeläge B, är den sammanlagda sträckan tre gånger så lång som avståndet mellan färjelägena (se figur). Den färja, som startade från A och är markerad med rött, måste då ha kört 3 * 700 m = 2100 m. Av figuren framgår att denna färja har kört sträckan mellan färjelägena och ytterligare 400 m.
Avståndet mellan färjelägena är därför 2100 m - 400 m = 1700 m.
(W. F. Rufus i American Mathematical Monthly 1940)

Beteshagen
Svar: Beteshagens mått är 200 m x 100 m.
Lösning:
Det här är ju ett "max- och minproblem", men vi kan få fram lösningen utan att derivera.
Som bekant är kvadraten den rektangel som har den största arean i förhållande till sin omkrets
Om vi dubblar beteshagens area blir den 4 ha = 40000 m². Minsta möjliga åtgång av stängsel får vi, om hagen är en kvadrat med sidan 200 m.
Av detta resonemang och av figuren inser vi att hagen ska ha måtten 200 x 100 m.

Charles W. Trigg: Mathematical Quickies nr 93
(med siffervärden anpassade till svenska förhållanden.)

Kort stubin

Uppg. 1:
Här följer en teoretisk förklaring, men praktiskt blir den nog svår att genomföra.

Tänd den ena stubinen i båda ändarna samtidigt som du tänder den andra stubinen i ena ändan.
När den första stubinen har brunnit upp (efter 30 sekunder), tänder du den andra ändan av den andra stubinen.
Den andra stubinen har då kvar 30 s/2 = 15 s brinntid.
30 s + 15 s = 45 s.

Uppg. 2: Kortast
Lösning:
Tänd samtidigt stubinen i båda ändar och dessutom på ytterligare två ställen på stubinen (markerat med 1:or i figuren).
Från var och en av de två mellersta ettorna brinner då stubinen i två riktningar, dvs. sex områden i stubinen brinner.
Antag att stubinen mellan de två vänstra ettorna brinner upp först. Då gäller det att blixtsnabbt tända stubinen i ett område, som inte brinner (markerat med svart i figuren), t.ex. där 2:an står. Förfarandet upprepas tills hela stubinen har brunnit upp.
Eftersom sex områden alltid brinner samtidigt, blir tiden 60 s/6 = 10 s.
I praktiken blir det dock mycket svårt för professor Kalkyl att genomföra den här teoretiska modellen.

Cirklarna
Svar: Radien i den gula cirkeln är 2 cm.
Lösning: I figuren nedan är den blå triangeln likformig med den röda triangeln.
Eftersom radierna förhåller sig som 2:1, är också förhållandet mellan övriga sträckor i den blå och röda triangeln 2:1.
Vi vet nu att sträckan AB är 18 cm och att AC och CB förhåller sig som 2:1. Det betyder att sträckan AC är 12 cm och sträckan CB är 6 cm.

I figuren nedan är triangeln CEF likformig medtriangeln ACD.
Sträckan AF = (r + 6) cm och sträckan CF = 12 cm - (r + 6) cm = (6 - r) cm
Likformighet ger:
r/6 = (6 - r)/12
r = 2

|Tillbaka|