Klurigt nr 13 (lösningar)

Det dolda kortet

Kvadraterna

Svar: Det finns 30 kvadrater i figuren till höger. Svaret kan skrivas på följande vackra sätt: 12 + 22+ 32+ 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 Motivering: Den stora kvadraten (4x4 rutor) kan bara placeras på ett sätt. En kvadrat med 3x3 rutor kan placeras på 2*2 =4 sätt (på två sätt i sidled och två sätt i höjdled), en kvadrat med 2x2 rutor på 3*3=9 sätt och en kvadrat med 1x1 rutor på 4*4=16 sätt. Hur många kvadrater finns det i en kvadrat som består av 9x9 rutor? Svar: 285 kvadrater

Fåglarna

Svar: Fåglarna ska komma i följande ordning: Blåmes, bofink, talgoxe och rödhake. Vi börjar med att jämföra Annas och Bennys svar: Talgoxen måste båda ha placerat rätt (nr 3). I annat fall skulle båda ha placerat bofinken rätt, vilket är orimligt, eftersom de placerat den olika. Bofinken fanns alltså varken på plats nr 1 eller plats nr 4. Då återstår bara en möjlighet (nr 2). Cillas val av blåmesen som nr 2 måste därför vara fel. Följaktligen var rödhaken rätt placerad (nr 4). Blåmesen placeras på den återstående platsen (nr 1).

En ny räkneregel 

Svar: a) 53 = 5 - 5*3 = 5 - 15 = - 10 b) (40,5)3 = (4 - 4*0,5)3 = (4 - 2)3 = 23 = 2 - 2*3 =2 -6 = - 4 c) (43)3 = (4 - 4*3)3 = (4 - 12)3 = (-8)3 = (-8) -(-8)*3 =  -8 -(-24) = -8 +24 = 16

Trianglarna

Låt stickorna bilda en tetraeder!

Biljardbollarna I

Svar: Ja! 1) Dela upp kloten i tre högar med nio klot i vardera högen. 2) Jämför två av högarna med hjälp av balansvågen.  3) Om det väger jämnt, ligger den tyngre bollen i den återstående högen. I annat fall finns den på den vågskål, som väger mest. 4) Vi undersöker de nio bollar, som nu är intressanta, genom att dela upp dem i tre högar med tre bollar i varje hög. 5) Jämför två av högarna med hjälp av balansvågen och resonera på liknande sätt som i punkt 3) ovan. 6) Med ytterligare en vägning kan du hitta den felaktiga bollen.

Trollen

Svar: Klumpeduns ska ta chansen att börja! Lösning: Klumpeduns ska se till att det är ett jämnt antal guldmynt i varje hög, när Vresig skall göra sitt drag. Därför börjar han att ta ett mynt från vardera högen. Ett par exempel som visar hur det fungerar: 1) Antag att det finns ett mynt i första högen och två mynt i den andra högen, när Klumpeduns skall göra sitt drag. Klumpeduns tar då myntet i den första högen. Vresig måste då i sitt nästa drag lämna kvar ett mynt och Klumpeduns vinner! 2) Antag att det finns tre mynt i varje hög, när Klumpeduns skall göra sitt drag. Han tar då ett mynt från varje hög. Vresig har då två alternativ: a) Han kan ta ett mynt från vardera högen, men då återstår bara ett mynt i varje hög. Klumpeduns vinner! b) Han kan ta ett mynt från den ena högen, men då fortsätter Klumpeduns på det sätt som beskrivs i det första exemplet.

Korttricket

Lösning: Efter några sifferexempel brukar duktiga elever i nian inse, att det finns ett samband mellan det första kortets valör och antalet kort i högen. Ex: Om första kortets valör är 10, kommer högen att innehålla fyra kort. Skulle det första kortet vara en dam, kommer högen att bestå av två kort osv. Allmänt kan antalet kort i en hög beskrivas med uttrycket 14-n, där n är det första kortets valör. När man vänder på högarna 1, 2 och 3 hamnar det första kortet överst! Det första kortets valör i dessa högar kallas x, y och z (se tabell).   Hög nr 1 2 3 Första kortets valör x y z Antal kort i högen 14-x 14-y 14 -z I slaskhögen (S) ligger från början 52 - (14 - x) - (14 - y) - (14 - z) kort. Det kan enklare skrivas (10 + x + y + z) kort. Vi börjar med att ta bort 10 kort. Då återstår (x + y + z) kort i hög S. I samband med att vi vänder på översta kortet i hög 1 och hög 2, tar vi bort x resp. y kort. Då återstår z kort, dvs. valören på det översta kortet i hög 3! Anm.: Denna uppgift redovisade jag i "Uppslaget" (Nämnaren nr 2/2003). Den har senare utnyttjats i ett examensarbete (10 poäng) vid Malmö högskola: "Hur ser en gymnasieklass på laborationer i matematik?"

Avståndsbedömning

Svar: Det finns två lösningar. 1) Sträckan PC är 14 cm och sträckan PD 13 cm. 2) Sträckan PC är 6 cm och sträckan PD 3 cm.
Lösning:  P:s avstånd till rektangelns sidor är a, b, c och d (se figur). Antag att sträckan PC är x cm och sträckan PD är y cm. Pytagoras sats ger: a2 + b2 = 32 a2 + d2 = 62 c2 + d2 = x2 b2 + c2 = y2
Efter förenkling får man x2 - y2 = 27, dvs. (x + y)(x - y) =27 Alt. 1:  x + y = 27           x - y = 1        Svar: x = 14 och  y = 13 Alt. 2: x + y = 9           x - y = 3         Svar: x = 6 och y = 3

Biljardbollarna II

Svar: Ja! Lösning Går problemet att lösa om det finns 13 bollar?

 

För denna sida ansvarar: Alf Gunnarsson

|Tillbaka |