| Månadens problem
(tre olika svårighetsgrader)
|
Lätt
Svar:
Sträckan AB är 8 cm.
Lösning:
C och D är cirklarnas medelpunkter.
Vinkeln mellan tangenten och radierna DA resp. CB är 90o.
EC är parallell med AB.
Triangeln CDE är därför rätvinklig.
DC = 8 cm + 2 cm = 10 cm.
DE = 8 cm - 2 cm = 6 cm.
Antag att sträckan AB är x cm.
Då är sträckan EC också x cm.
Pytagoras sats på triangeln CDE ger
x2 + 62 = 102
x = 8 |
 |
Medel:
Svar:
Sträckan AB är 10 cm.
Lösning:
C och D är cirklarnas medelpunkter.
Vinkeln mellan tangenten och radierna DA resp. CB är 90o.
EC är parallell med AB.
Triangeln CDE är därför rätvinklig.
Antag att radien DA är r cm och radien CB s cm
DC = r cm + s cm = (r + s) cm.
DE = r cm - s cm = (r - s) cm.
Antag att sträckan AB är x cm.
Då är sträckan EC också x cm.
Pytagoras sats på triangeln CDE ger
x2 + (r - s)2 = (r + s)2
x2 + r2 -2rs + s2 = r2
+ 2rs + s2
x2 = 4rs men rs = 25 (enl. uppg.)
x2 = 100 x =
±
10 |
|
Svår:
Påst.:
AA1.
BB1 = r2
(dvs. en konstant)
Bevis:
AA1 =
CA1 och BB1=
CB1
(Två tangenter från en punkt är lika långa)
Antag att AA1= x
och BB1=
y samt att cirkelns radie är r.
P.g.a. vinkelsambanden vid de parallella linjerna är
triangeln A1CO likformig med
triangeln B1CO.
Likformighet ger x/r = r/y
xy = r2 V.S.B. |
 |