Månadens problem
oktober 2024

kycklingarna

Svar: Bonden Josef har 300 kycklingar.
Lösning:
Antag att fodret f.n. räcker till x kycklingar under y dagar,
dvs. antalet dagsportioner är xy                 (1)

Alternativ 1: 75 kycklingar säljs
Antal dagsportioner: xy = (x - 75)(y + 20)   (2)
Alternativ 2: 100 kycklingar köps in.
Antal dagsportioner: xy = (x + 100)(y - 15)  (3) 

Ekv.:
(x - 75)(y + 20) = (x + 100)(y - 15)
xy + 20x -75y – 1500 = xy  -15x + 100y – 1500
35x – 175y = 0
x – 5y = 0
x = 5y                                                   (4)

Sätt in x = 5y i ekv. (2)
xy = (5y – 75)(y + 20)
5y2 = 5y2 + 100y – 75y – 1500
25y = 1500
y = 60

Enligt (4) är x = 5y 
Det medför att x = 5 . 60 = 300

 

 palindromtal

Svar: 45 femsiffriga palindromtal är delbara med 37
Lösning:
En enkel programmering kan se ut så här:
  

10 S = 0
20 FOR A = 1 TO 9
30 FOR B = 0 TO 9
40 FOR C = 0 TO 9
50 T = 10000*A + 1000*B + 100*C + 10*B + A
60 IF T/37 = INT(T/37) THEN PRINT T;: LET S = S + 1
70 NEXT C
80 NEXT B
90 NEXT A
100 PRINT
110 PRINT S;" Antalet femsiffriga palindromtal, som är delbara med 37."

Några förklaringar:
Det femsiffriga talet T skrivs 10000*A + 1000*B + 100C + 10*B + A
S är antalet femsiffriga palindromtal, som är delbara med 37.
 

Intressanta iakttagelser:
Avståndet mellan två närliggande tal på en rad är 1110 (30 * 37).
När den tredje siffran i talet är 9, tillhör nästa tal ett nytt intervall.
  
Första talet på varje rad är r0r0r        r = radens nr
 

10101 11211 12321 13431 14541 15651 16761 17871 18981
20202 21312 22422 23532 24642 25752 26862 27972  
30303 31413 32523 33633 34743 35853 36963    
40404 41514 42624 43734 44844 45954      
50505 51615 52725 53835 54945        
60606 61716 62826 63936          
70707 71817 72927            
80808 81918              
90909                
Intervall Antal femsiffriga palindromtal delbara med 37
10000 - 19999 9
20000 - 29999 8
30000 - 39999 7
osv. osv.
90000 - 99999 1
Summa

1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
 

Birger Jörgensen har systematiskt visat hur man får fram lösningen:
Första femsiffriga palindromtalet delbart med 37 är 10101.
Vi får följande palindromtal:
10101  20202  30303  40404  50505  60606  70707  80808 900909
Man finner att om talen i raden ovanför ökas med 1110  ( = 30 * 37) får man palindromtal
11211  21312  31413  41514  51615  61716  71817  81918
12321  22422  32523  42624  52725  62827  72927
    .         .         .         .         .         .        
    .         .         .         .         .        
    .         .         .         .               
    .         .         .        
    .         .   
18981       
==================================================== 
   9 st      8 st     7 st   .........................................1 st

 Totalt 9(9 + 1)/2 = 45 st
 

schackbrädet

Svar: Nej, det går inte.
Lösning: Två vita rutor togs bort. Då återstår 30 vita och 32 svarta rutor.
Varje dominobricka täcker en vit och en svart ruta!
Hur man än lägger de 30 första brickorna kommer de därför att täcka 30 vita och 30 svarta rutor.
Då har man kvar en dominobricka och två svarta  rutor.
Eftersom två rutor intill varandra (vågrätt eller lodrätt) alltid har olika färg kan man inte täcka de två kvarvarande svarta rutorna med den återstående dominobrickan.
 

 Rektangeln

Svar: Rektangelns area är
450 cm2 

Lösning:
Pythagoras sats på triangeln CGH ger
GH = 26 cm, dvs. halv-cirkelns radie är 13 cm.
Triangeln EGO och CGH är likformiga i skalan 1:2.
Då är GE = 10 cm/2 =
5 cm och EO = 12 cm.
Sidan BC = JO + OE =
13 cm + 12 cm = 25 cm.
EG = 10/2 cm = 5 cm
Då är DC = DE + EC =
13 cm + 5 cm = 18 cm.
Arean av ABCD är
25 . 18 cm2 = 450 cm2

 
   

 den okända arean

Svar:
Arean av fyrhörningen AFJE är 18 cm2.
Lösning:
Fyrhörningen ABCD består av fyra mindre fyrhörningar. Rita in diagonalerna AJ, BJ, CJ och DJ i dessa fyrhörningar.
Trianglarna med beteckningarna A1 har lika stora areor, eftersom de har lika stora baser och en gemensam höjd.
Motsvarande resonemang gäller för areorna
A2, A3 och A
4.
Det ger ekvationerna
A1 + A2 = 18 (1)
A2 + A3 = 24 (2)
A1 + A4 = 12 (3)
Ekv. (1) och (2) ger
A1 = A3 - 6
Då kan ekv. (3) skrivas
A3 - 6 + A4 = 12
A3 + A4 = 18 (= AFJE)

Du kan mejla din lösning till mig (alf@mathpuzzle.se)
  
   Tillbaka