Månadens problem november 2023

Månadens problem
november 2024 (lösningar)

sträckan AB

Svar:
Sträckan AB är 17 cm
Lösning:
AB = x + 7 + y (cm)

Använd kordasatsen!
x(7 + y) = 6 ^. 10
y(7 + x) = 5 ^. 12

7x + xy = 60 (1)
7y + xy = 60 (2)

7x + xy = 7y + xy
7x = 7y
x = y

x = y insatt i ekv. (1) ger
7y + y² = 60

x = y enl. ovan

Sträckan AB =
(5 + 7 + 5) cm = 17 cm

blå arean

Svar: Arean är 128 cm² Lösning: Antag att sidan i de vita kvadraterna är a cm samt att den korta kateten i triangeln är b cm. Då är sidan i den lilla blå kvadraten (a - b) cm och sidan i den stora blå kvadraten (a + b) cm. Pythagoras sats på triangeln ger a² + b² = 64 (1)
Den blå arean är (a - b)² + (a + b)² = a² - 2ab + b² + a² + 2ab + b² = 2(a² + b²) Men a² + b² = 64 enl. (1) Alltså är den blå arean 2 ^. 64 cm² = 128 cm²

förhållandet

Svar: Förhållandet mellan arean av triangeln A och arean av triangeln B är 8:1
Lösning:
C = A/2  (Samma höjd men hälften så stor bas)
D = 2B (Samma höjd men dubbelt så stor bas)

Triangeln EFH (3 a.e.) är dubbelt så stor som triangeln EGI (1,5 a.e.)
Då gäller sambandet A + C + D = 2(B + C + D)
A + A/2 + 2B = 2(B + A/2 + 2B)
    3A/2 + 2B = 2B + A + 4B
             A/2 = 4B
                A = 8B dvs. A:B = 8:1

bussen

Svar:
a) Det var 49 passagerare, när bussen var fullsatt.
b) Det var 7 hållplatser
Lösning:
Antag att det var x passagerare, när bussen var fullsatt.

Hållplats	Antal passagerare som steg av	Antal passagerare som var kvar
1	1 + (x - 1)/8 = (7 + x)/8	x - 1 - (x - 1)/8 = (7x - 7)/8
2	2 + (7x - 7)/64 - 2/8 = (105 + 7x)/64

Samma antal passagerare steg av vid varje hållplats.
Ekv.: (7 + x)/8 = (105 + 7x)/64
56 + 8x = 105 + 7x
x = 49
Svar: Det var 49 passagerare, när bussen var fullsatt.
Antal passagerare som steg av vid hållplats 1: (7 + x)/8 = (7 + 49)/8 = 7
Antal hållplatser: 49/7 = 7

Antal passagerare som steg av vid hållplats 1: (7 + x)/8 = (7 + 49)/8 = 7

korttricket

Lösning:

Extrauppgift: Lösning 1. Th8†!! a) 1. -, Kxh8 2. Dh5†, Kg8 3. g6, Sf6 4. exf6, Txf6 5. Dh7†, Kf8 6. Dh8 matt b) 1. -, Kf7 2. Dh5†, g6 3. Dh7†, Ke8 4. Dxg6 matt Analys: https://www.365chess.com/board_editor.php
Vits torn och dam fångar den svarta kungen lätt Han saknar ju säkra vägar till reträtt.

Tillbaka