Mamma och pappa Sjöström har tre söner.
Varje son har två systrar. 
Hur många medlemmar består
familjen Sjöström av?

Svar: 7 familjemedlemmar
De tre pojkarna har naturligtvis samma systrar.
Pappa, mamma, tre pojkar och två flickor =
sju familjemedlemmar.
 

I en karamellskål finns det 10 röda,
15 gula och 12 gröna påskägg.
Du plockar upp ägg utan att titta på färgen.
Hur många ägg måste du ta för att vara
säker på att få alla tre sorterna?
 

Svar: 28 ägg
Man skulle kunna ta 27 ägg och enbart få gula och gröna ägg, men i så fall måste nästa ägg vara rött!

Hur stor är vinkeln ABC?

Svar: 60 grader
Triangeln ABC är liksidig.
Vinkeln ABC är därför 60 grader.

Kubens kanter är 4 cm.
Man skär av alla hörn på kuben,
2 cm från resp. hörn
(se figur)
Hur många hörn kommer den
nya rymdfiguren att ha?
 

Svar: 12 hörn
När man skär av ett hörn, bildas tre nya hörn.  
Av figuren framgår dock att man bara får ett hörn på var och en av den gamla kubens kanter.

Den blå kvadraten har arean 81 cm²
Den stora kvadratens sida är x cm.
Hur lång är sträckan x?

Svar: 11 cm
Den blå kvadratens area är 81 cm². 
Därför är sidan 9 cm.
Den långa sidan i den gula rektangeln är då också
9 cm. Eftersom arean är 18cm², måste 
den korta sidan vara 2 cm. Den stora kvadratens sida blir därför (9 + 2) cm = 11 cm.
 

Hur många vertikala snitt måste du minst göra för att dela kakan i åtta stycken lika delar?

Svar: 3 snitt
1) Lägg två vinkelräta, vertikala snitt.
2) Stapla de fyra bitarna ovanpå varandra och
    gör det tredje vertikala snittet!

OBS! Lika delar.
Lägger man ett horisontellt snitt, får man inte åtta lika delar.

Studera mönstret till nedan
Ange den räkneoperation som följer samma
mönster och som ger ett svar med siffrorna
1-9 i fallande ordning

.

Svar: 123456789 x 8 + 9 = 987654321

I rektangeln ABCD är AB = 10 och AD = 20cm.
E är en punkt på BC. Sträckan BE=4 cm.
Punkterna F och G ligger på AB resp. AD.
Sträckan AF=x cm och sträckan AG=2x cm.
Hur stor är den största möjliga arean av triangeln EFG?

Svar: 36 cm²

Lösning:
Triangeln EFG:s area = arean av parallelltrapetset ABEG:s area - arean av de två trianglarna AFG och BEF.
f(x) = 10(2x + 4)/2 - 2x2/2 - 4 ^. (10 - x)/2
f(x) = 12x - x²
Vi deriverar med avseende på x och sätter derivatan  lika med noll.
f '(x) = 12 - 2x
f '(x) = 0 12 -  2x = 0 
x = 6
Triangeln EFG:s area 12x - x² = 12 ^. 6 - 6² = 36
 

a) Vilket förhållande mellan sträckorna AG och AF ger den minsta arean för triangeln EFG?
Använd beteckningarna AF = x och AG = kx (se figur)

b) Hur stor är den arean?

Svar: k, dvs. förhållandet mellan AG och AF är 2/5.
Arean av triangeln EFG är då 20 cm²

Lösning:
Två villkor gäller
0< k ≤ 20/x   (sidan AD) 

0< x ≤ 10      (sidan AB)
              
Triangeln EFG:s area = arean av parallelltrapetset ABEG:s area - arean av de två trianglarna AFG och BEF.  Sätt A = arean av triangeln EFG

A = 10(kx + 4)/2 - kx²/2 - 4 ^. (10 - x)/2
A = 5kx - kx²/2 + 2x
Vi deriverar med avseende på x och sätter derivatan  lika med noll.
dA/dx = 5k - kx + 2
dA/dx = 0    5k -kx + 2 = 0 
x = 5 + 2/k

x = 5 + 2/k  insatt i villkoret 0< x ≤ 10
ger 2/5 ≤ k
 
Sätt in x = 5 + 2/k (från ekv. (4)) i ekv. (3)
Vi får då A = 25k/2 + 10 + 2/k

Derivering med avseende på k ger
dA/dk = 25/2 - 2/k²
När vi sätter derivatan lika med 0 får vi
k = 2/5
Eftersom andraderivatan är positiv, är det ett minimum.
Detta minimum faller precis på gränsen för de tillåtna värdena enligt enligt ekv. (2) medan villkoret i ekv. (1) är väl uppfyllt.

Sätt in värdena för k och x i ekv. (3)
Arean av triangeln EFG blir då 20 cm²

(1)

(2)








(3)




(4)


(5)



(6)


(7)