Månadens problem december 2010

godispåsarna

Svar: 45 godisbitar i varje påse.
Lösning:
Antag att antalet godisbitar i varje påse skulle vara 10x + y
Tomtenissen Fredrik stoppade i 10y + x godisbitar i varje påse.
Det totala antalet godisbitar ger ekvationen
36(10x + y) = 30(10y + x)
6(10x + y) = 5(10y + x)
         55x = 44y
           5x = 4y
            x = 4y/5
Eftersom x är ett heltal, måste y vara delbart med 5
y = 5 innebär att x = 4.
(y = 10 duger inte, därför att y ska vara ett ensiffrigt tal.)

Termometrarna

Svar: 253 K
Lösning:
1 K = 1^oC.
1^oC = 1,8^oF (På Fahrenheitskalan är det 180 grader mellan vattnets fryspunkt och kokpunkt. 180/100 =1,8)
Därför är sambandet mellan Celsiusskalan och Fahrenheitskalan F = 32 + 1,8C
(Termen 32 därför att 0^oC = 32^oF)

Vi får då följande ekvationssystem:

F = 32 + 1,8C	(1)
C/F = 5	(2)

Ekv. (2) kan skrivas F = 0,2C

F = 0,2C insatt i ekv. (1) ger
0,2 C = 32 + 1,8C
C = -20
Då visar Kelvintermometern
273 - 20 = 253

julklapparna

Svar: 32 832 julklappar är klara.
Lösning:
Antag att det första talsystemet har basen 2x och det andra talsystemet har basen x.
Med hjälp av de båda talsystemet får vi då två uttryck för antalet julklappar
8^.(2x)²+ 1^.(2x)¹ + 0^.(2x)⁰= 1^. x³ + 0^. x² + 2^. x¹ + 0^.x⁰32x²+ 2x = x³ + 2x
32x²= x³x₁= x₂= 0
x₃=32
Antal julklappar: 1^. 32³ + 0^. 32² + 2^. 32¹ + 0^.32⁰=
32768 + 64 = 32832

power walking

Svar:
a) 5 km b) 5 5/11 km/h
Lösning:
a) Tidsskillnaden mellan att gå sträckan med hastigheten 5 km/h och 6 km/h är 5 min (över idealtiden) + 5 min (under idealtiden) = 10 min.
Med hastigheten 5 km/h går tomten 1 km på 12 min, och med hastigheten 6 km/h går tomten 1 km på 10 min, dvs. tidsskillnaden blir 2 min för varje km.
För att få en tidsskillnad på 10 min måste sträckan vara 5 km.
(Naturligtvis kan man också ställa upp en ekvation:
Antag att sträckan är x km t = s/v x/5 - x/6 = 1/6)
b) Med hastigheten 5 km/h tar sträckan 5 km 1 h = 60 min.
Idealtiden är 60 min - 5 min (över idealtiden) = 55 min = 11/12 h
Hastigheten beräknas med formeln sträckan/tiden
5/(11/12) km/h = 5 5/11 km/h

Hinken

Svar: Ca 13,8 liter Lösning: Hinken är en stympad kon. Vi ritar ut hela konen och vänder spetsen uppåt. Den streckade lilla konen är likformig med den stora konen. Likformighet ger: x/9 = (x + 30)/15 x = 45 Volymen av en kon är r²h/3
Den stora konen: ^.15^2.75/3 cm³ =5625 cm³Den lilla konen: ^.9^2.45/3 cm³ =1215 cm³ Den stympade konen = hinken: 4410 cm³ 13800 cm³ = 13,8 l Anm.: Det finns en formel för att räkna ut volymen av en stympad kon.

talmysteriet

Svar: Talen är 1 och 4
Lösning:
När Johan svarar "Nej", innebär det, att det tal som står på hans lapp kan vara produkten av två ensiffriga tal på mer än ett sätt.
Därför måste talet på hans lapp vara ett av nedanstående tal i fetstil:
4 = 1 ^.4 = 2 ^.2    6 = 1 ^.6 = 2 ^.3      8 = 1 ^.8 = 2 ^.4      9 = 1 ^.9 = 3 ^.3
12 = 2 ^.6 = 3 ^.4   16 = 2 ^.8 = 4 ^.4    18 = 2 ^.9 = 3 ^.6 24 = 3 ^.8 = 4 ^.6
36 = = 4 ^.9 = 6 ^.6

När Johan svarar "nej", inser Niklas, att Johan har något av ovanstående nio tal.
Han undersöker då vilka summor som dessa faktorer ger:
4 = 2 + 2   5 = 1 + 4 = 2 + 3 6 = 2 + 4 = 3 + 3   7 = 1 + 6 = 3 + 4
8 = 2 + 6 = 4 + 4   9 = 1 + 8 = 3 + 6   10 = 1 + 9 = 2 + 8 = 4 + 6
11 = 2 + 9 = 3 + 8    12 = 6 + 6     13 = 4 + 9

Niklas svarar "Nej". De betyder att han kan inte ha någon av de summor, som skrivna med rött.

Johan kan därför koncentrera sig på följande summor:
5 = 1 + 4 = 2 + 3 6 = 2 + 4 = 3 + 3   7 = 1 + 6 = 3 + 4
8 = 2 + 6 = 4 + 4   9 = 1 + 8 = 3 + 6   10 = 1 + 9 = 2 + 8 = 4 + 6
11 = 2 + 9 = 3 + 8
Det ger följande produkter:
4 = 1 ^.4    6 = 1 ^.6 = 2 ^.3        8 = 1 ^.8 = 2 ^.4      9 = 1 ^.9 = 3 ^.3
12 = 2 ^.6 = 3 ^.4   16 = 2 ^.8 = 4 ^.4    18 = 2 ^.9 = 3 ^.6 24 = 3 ^.8 = 4 ^.6
Johan säger: Ja (nu vet jag vilka talen är)! Det måste betyda att produkten på Johans lapp är 4, dvs. de två ensiffriga talen är 1 och 4, eftersom övriga produkter kan faktoriseras på två sätt.