Bonden Paavos betesfält (lösning)
Svar: (37 + 684 + 685) m = 1406 m
Allmän formel:
Lösning:
Om den minsta sidan i en rätvinklig triangel är ett udda tal, går det alltid att hitta en rätvinklig triangel, där de två andra sidorna är två på varandra följande heltal.
Upptäckt av Pythagoras på 500-talet f. Kr.)
37 som den längsta kateten fungerar inte.
Om den minsta kateten är ett primtal, är det den enda lösningen.* I det här fallet finns det alltså bara en lösning, eftersom 37 är ett primtal.

Pythagoras sats ger:
(x + 1)2 = x2 + 372 
  2x + 1 = 1369
         x = 684

Stängslet (= omkretsen) blir (37 + 684 + 685 ) m = 1406 m
 
Om den minsta sidan är a, får man
(x + 1)2 = x2 + a2
2x + 1 =  a2
En allmän formel ser därför ut så här

 
Bengt B. har föreslagit den här lösningen.
 
Formler för primitiva pythagoreiska trianglar ger att den udda kateten = 37 alltid kan skrivas på formen (m+n)(m-n). Då måste det gälla att (m-n) = 1 och  m+n=37 
m=19 n =18 (Endast en lösning!)
Hypotenusa c = m2 + n2 
Jämn katet  b = 2mn 
Udda katet  a =  m2 - n2  = (m+n)(m-n).
Omkrets = 2m2 + 2mn = 2m(m+n) = 2*19*37 = 1406 m
*
 Bevis:
a2 + x2 = (x + n)2
        a2 = n(2x + n)
Om a är ett primtal (jämnt delbart med 1 och talet självt), gäller likheten om
1) n = 1
Vi får då efter förenkling att (precis som enligt den allmänna formeln ovan.)
2) x= 0
 Men det skulle betyda att kateten x är 0, vilket är orimligt.
Slutsats: Det finns bara en pythagoreisk trippel, om den minsta kateten är ett primtal.

 


 Tillbaka