| Månadens problem
|
Uppgift 1:
Svar: Det finns fyra lösningar: Talet är 12, 24, 36 eller 48.
Lösning:
Antag att man utgår från talet 10x + y, där x är
tiotalssiffran och y entalssiffran.
Det nya talet blir då 10y + x och är 75% större än det första
talet.
Förändringsfaktorn är därför 1,75.
Ekv.: 1,75(10x + y) = 10y + x
y = 2x, dvs. entalssiffran är dubbelt så stor som
tiotalssiffran.
Talen 12, 24, 36 och 48 uppfyller detta villkor. |
Uppgift 2:
Lösning:
Vi utgår från talet 100x + 10 y + z (x > z)
x är hundratalssiffran, y är tiotalssiffran och z entalssiffran.
När talet läses baklänges får vi talet 100z + 10 y + x
Differensen blir 100x + 10 y + z - (100z + 10 y + x) = 99x -99z
= 99(x - z)
V.S.B.
Bengt Blomster har visat en generell lösning för tal skrivna med
basen b:
Vi utgår från talet x . b2 + y
. b + z.
När talet läses baklänges får man z . b2
+ y . b + x.
Differensen blir (x-z) . b2 + (y-y)
. b + (z-x) = (x-z)(b2 - 1)
Då b = 10 blir (b2 - 1) = 100 - 1 = 99 |
Uppgift 3:
Svar:
Ett exempel är talet är
12
i talsystemet med basen 4.
Lösning:
Vi antar att talsystemets bas är b och att vi utgår från
talet bx + y (x<y)
Ekv.: 3/2(bx + y) = by + x
y = x(3b - 2)/(2b -3)
Vi undersöker vilka baser, som uppfyller villkoret:
b = 4 ger y= 2x y<4.
Då är x = 1 och y = 2
b = 9 ger y= 5x/3, dvs. x= 3 och y = 5
b = 14 ger y = 8x/5, dvs. x = 5 och y = 8
dvs. basen verkar kunna skrivas 4 + 5n n = 0,
1 , 2 ......
H. Hemme visar i sin bok Die Hölle der Zahlen att detta
antagande stämmer!
Han visar dessutom att siffrorna i det tal, som man utgår från, är
x = 2n + 1 och y
= 3n + 2 n = 0, 1 , 2 ......
|
|