Månadens problem
april 2007 (lösning)

De omkastade siffrorna

Månadens problem
Uppgift 1:
Svar:
Det finns fyra lösningar: Talet är 12, 24, 36 eller 48.
Lösning:
Antag att man utgår från talet 10x + y, där x är tiotalssiffran och y entalssiffran.
Det nya talet blir då 10y + x och är 75% större än det första talet.
Förändringsfaktorn är därför 1,75.
Ekv.: 1,75(10x + y) = 10y + x            
                       y = 2x, dvs. entalssiffran är dubbelt  så stor som tiotalssiffran.
Talen 12, 24, 36 och 48 uppfyller detta villkor.
Uppgift 2:
Lösning:
Vi utgår från talet 100x + 10 y + z   (x > z)
x är hundratalssiffran, y är tiotalssiffran och z entalssiffran.
När talet läses baklänges får vi talet 100z + 10 y + x
Differensen blir 100x + 10 y + z - (100z + 10 y + x) = 99x -99z = 99(x - z)
V.S.B.

Bengt Blomster har visat en generell lösning för tal skrivna med basen b:
Vi utgår från talet x . b2 + y . b + z.
När talet läses baklänges får man z . b2 + y . b + x.
Differensen blir (x-z) . b2 + (y-y) . b + (z-x) = (x-z)(b2 - 1)
Då b = 10 blir (b2 - 1) = 100 - 1 = 99
Uppgift 3:
Svar:
Ett exempel är talet är 12  i talsystemet med basen 4.
Lösning:
Vi antar att talsystemets bas är b och att vi utgår från talet bx + y (x<y)
Ekv.: 3/2(bx + y) = by + x
                      y = x(3b - 2)/(2b -3)

Vi undersöker vilka baser, som uppfyller villkoret:

b = 4 ger y= 2x   y<4.
Då är x = 1 och y = 2

b = 9 ger y= 5x/3, dvs. x= 3 och y = 5

b = 14 ger y = 8x/5, dvs. x = 5 och y = 8

dvs. basen verkar kunna skrivas 4 + 5n    n = 0, 1 , 2 ......

H. Hemme visar i sin bok Die Hölle der Zahlen att detta antagande stämmer!
Han visar dessutom att siffrorna i det tal, som man utgår från, är
x = 2n + 1 och y = 3n + 2       n = 0, 1 , 2 ......
 

     Tillbaka till Klurigt