Klurigt nr 20 (lösningar)

Klurigt nr 20 (lösningar)

Gevärskulan

Svar: Johanna upptäckte kulan först. Därefter kom Sara och sist Camilla.
Lösning:
Johanna såg röken - ljusets hastighet är 300 000 km/s. Johanna såg röken i samma ögonblick som geväret avfyrades.
Sara såg när kulan slog ner - kulans hasighet till nedslagsplatsen var nog i storleksordningen 800 m/s. Sara upptäckte kulan ca 2,5 s efter avfyrningen.
Camilla hörde knallen - ljudets hastighet är drygt 340 m/s en varm sommardag, dvs. ca 1 km på 3 s. Camilla hörde knallen ca 6 s efter avfyrningen.

Kortspelet 1
Svar: Clara
Poängen som delas ut i varje omgång är: 8, 4 och 1 poäng.
Lösning:
Sammanlagt hade spelarna efter sista omgången 20 + 10 + 9 p = 39 poäng.
3 ^. 13 = 39
Alt. 1: 13 omgångar med sammanlagt tre poäng i varje omgång.
Orimligt! Eftersom de tre korten har olika positiva heltal, måste summan bli större än 3.
Alt. 2: 3 omgångar med sammanlagt 13 poäng i varje omgång.
Eftersom Anna har sammanlagt 20 poäng, måste högsta poängen i varje omgång vara större än 6. Å andra sidan kan den högsta poängen inte vara större än 8, eftersom Benjamins slutpoäng är 10.
a) Antag att högsta poängen är 7. I så fall måste Benjamin i de andra omgångarna ha haft 2 resp. 1 p. Men 7 + 2 + 1 = 10. Summan i varje omgång ska ju vara 13. Därför är antagandet orimligt.
b) Antag att högsta poängen är 8. I så fall måste Benjamin i de andra omgångarna ha haft 1 p i varje omgång. Poängen på det återstående kortet är i så fall 13 - 8 - 1 = 4.
En kontroll visar att detta stämmer:

Anna Benjamin Clara

8 1 4

8 1 4

4 8 1

20 10 9

Glasklart?
Svar: Båda glasen har samma koncentration av det ursprungliga vinet. Lösning: Båda glasen har samma vätskemängd som från början. Alltså har mängden rött vin ersatts av exakt lika mycket vitt vin och vice versa. Ex.: Om det är 75 % rött vin och 25 % vitt vin i det vänstra glaset, så måste det vara 75 % vitt vin och 25 % rött vin i det högra glaset.

Notan

Svar: Sällskapet bestod av 10 personer.

Lösning:

Antag att sällskapet bestod av x personer och att kostnaden var y kr, om alla betalade.

Vi får då ett ekvationssystem:

xy = (x-2)(y+90) (1)

xy = 3600 (2)

Efter förenkling av (1) får vi

y = 45(x - 2) (3)

y = insatt i ekv. (2) ger

45x(x - 2) = 3600 (4)

Efter förenkling av (4) får vi
x²- 2x = 80
x₁= 10
(x₂= -8)

Vi kan också använda ett kalkylprogram för att lösa uppgiften.
Detta är ett exempel på en sådan lösning.

Kortspelet 2

Svar: Före kortspelets början hade Alexander 33 kr, Bodil 17 kr, Cissi 9 kr och David 5 kr.

Lösning:
Uppgiften kan lösas genom att "resonera baklänges"
Före sista omgången måste A, B och C ha 8 kr, eftersom deras kassa kommer att fördubblas.
Då måste D ha 3* 8 kr + 16 kr = 40 kr

	A	B	C	D
Efter omgång 4	16	16	16	16
Efter omgång 3	8	8	8	40
Efter omgång 2	4	4	36	20
Efter omgång 1	2	34	18	10
Vid start	33	17	9	5

En generell lösning:
Påstående (som tillsvidare lämnas utan bevis):
Om det är n spelare och varje spelare efter slutomgången har 2^n .m kr så gäller följande:
Vid starten har
förste förloraren (2^n-1.n+ 1)m kr
andre förloraren (2^n-2 .n + 1)m kr ....
siste förloraren (2^n-n.n + 1)m kr = (n + 1)m kr

I vårt ex:
2^n .m = 16 n = 4
     m = 1
Vid starten har A (2^3.4 + 1) kr = 33 kr
                     B (2^2.4 + 1) kr = 17 kr
                     C (2^1.4 + 1) kr = 9 kr
                     D (2^0.4 + 1) kr = 5 kr

En skakande upplevelse

Svar:
Det finns inte tillräckligt många upplysningar i texten för att svaret ska vara entydigt.
Följande antal deltagare uppfyller villkoren:

Kafferep nr 1	Kafferep nr 2
7	4
9	7
16	15

Lösning:
Antalet handskakningar blir x(x - 1)/2 vid x deltagare.
En systematisk undersökning av skillnaden i antalet deltagare ger svaren ovan:

Anm.: Om skillnaden i antalet handskakningar vid de båda tillfällena antas vara a handskakningar, är (a+1) resp. a deltagare alltid en lösning.
Bevis: a(a+1)/2 - a(a-1)/2 ger differensen i antalet handskakningar enligt formeln ovan.
Efter förenkling av a(a+1)/2 - a(a-1)/2 får man svaret a, som enligt antagandet är skillnaden i antalet handskakningar vid de båda tillfällena.

Extrauppgift:
Svar: Moster Agda bakade 441 pepparkakor.

Lösning:
Ett tal är en palindrom om man får samma tal antingen det läses fram- eller baklänges.
I det vigesimala talsystemet är basen 20.
Följande tresiffriga tal blir en kvadrat, även om talet läses baklänges:
100, 121, 144, 169, 400, 441, 484, 676, 900, 961.

441 i vårt decimala system blir 121 i det vigesimala talsystemet.
441 = 1^.20²+ 2^.20¹ + 1

OBS! På sidan http://www.convertworld.com/en/numerals/ kan du göra omvandlingar mellan olika talsystem.

Anm.: Moster Agdas intresse för det vigesimala talsystemet kan förklaras av att hon nyligen besökt Chichén Itzá i Mexico, där mayafolket en gång hade en blomstrande kultur.

Vintunnan

Svar: Kannan rymde 10 l

Lösning:
Alt. 1:

Antag att kannan rymmer x liter.
1)	Sonen har sammanlagt hällt i 2x liter vatten.
2)	När han andra gången hämtade (utspätt) vin, bestod vinet till x/50 av vatten. Därför var innehållet i kannan då x²/50 l vatten
3)	I tunnan fanns det då (2x - x²/50) l vatten, vilket motsvarade 36 % av tunnans innehåll enligt uppg.

4)	Ekv.: 2x - x²/50 = 0,36 ^.50 100x - x²= 900 (x₁= 90) x₂= 10

Alt. 2:

Antag att kannan rymmer 50x liter. (Antagandet 50 x ger i den här metoden enklare beräkningar än x, som användes i den första metoden.)
1)	Koncentrationen av vin efter första fyllningen var 1 - 50x/50 = 1-x
2)	Koncentrationen av vin efter andra fyllningen var (1-x)(50-50x)/50 = (1-x)²
3)	Enligt uppg. bestod 36 % av tunnans innehåll av vatten, som sonen hällt i. det innebär att koncentrationen av vin var 100 % - 36 % = 64 %
4)	Ekv.: (1-x)²= 0,64 x₁= 0,2 50x = 50^.0,2 = 10 (x₂= 1,8)

Slutsats: Efter tre hämtningar är koncentrationen av vin (1-x)³och efter n hämtningar (1-x)ⁿ

Lat men smart

Lösning (insänt till Kappa av ett lärarlag från Södra Latin)

Kappa är en tävling för matematiklärare, arrangerad av Stockholms universitet i samarbete med Theducation AB samt Natur & Kultur.

|Tillbaka|