Klurigt nr 33
 

Upp till bevis!

Delare:
Def: Heltalet a är delbart med heltalet b, om kvoten a/b är ett heltal.
b är då en delare till a.
Låt s(n) = summan av alla positiva delare till det positiva heltalet n. Till dessa positiva delare räknas även talet 1 och talet n.
Exempel: Talet 12 kan delas med talen 1, 2, 3, 4, 6 och 12
s(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28
 
Uppg. 1:
Bevisa att
för alla primtal p.

Uppg. 2:
Finns det några positiva heltal n (n< 1000), så att ?
 

Bengt B., Staffan R. och Pelle P. har löst båda uppgifterna.
Lösning
 
 

Bonden Paavos betesfält

Bonden Paavo ska sätta stängsel runt ett betesfält, som har formen av en rätvinklig triangel.
Varje sida i triangeln är ett helt antal meter.

Hur långt stängsel går det åt?
Det går att ta fram längderna av de två övriga sidorna med hjälp av t.ex. Excel, men här gäller det att hitta en formel för att beräkna sidorna.
 

Pelle P. och Bengt B. har löst uppgiften.  

Lösning
 

Tavlan

Tavlan inköptes av shejk Abdullah, som gillade både motivet och ramen.
Ramen är guldförgylld och är sammansatt av åtta kongruenta delar.
För varje sådan del gäller att sträckan b är 10 cm kortare än sträckan a samt att arean är en jämn kvadrat. Sträckorna a och b är heltal.
Vilka är de minsta mått som tavlan (inklusive ramen) kan ha?

Extrauppgift:
Skriv en formel för att hitta större värden på a och därmed större format av tavlan.
 

Du kan mejla din lösning till mig (alf@mathpuzzle.se)
Pelle Pels har skickat lösningar.

Lösning   
 

Baltic Way - en landskamp i matte för gymnasieelever

   
Tävlingen har arrangerats årligen sedan 1990. Den har fått samma namn som den demonstration för de baltiska staternas frihet, som ägde rum den 23 augusti 1989.
Ca två miljoner människor bildade en kedja, som band samman huvudstäderna  Tallinn, Riga och Vilnius.

2015 är Estland, Lettland, Litauen, Danmark, Norge, Finland, Island, Holland, Tyskland, Polen, St. Petersburg  och Sverige inbjudna att delta i tävlingen.
 

Här kommer en uppgift från 2003 års tävling:
ABCD är en rektangel, där BC = 2 . AB
E är mittpunkten på sidan BC och P är en godtyckligt vald punkt på sidan AD.
Sträckan AF är vinkelrät mot sträckan BP och sträckan DG är vinkelrät mot sträckan CP.
Visa att punkterna E, F, P och G ligger på omkretsen till en cirkel.


   Ledtråd 1          Ledtråd 2                
               

Rymddiagonalen


(cm)

"Hör hit alla gubbar och tanter
24 är den totala längden av klossens kanter
Begränsningsarean behöver ni inte heller räkna ut själva

det har jag redan gjort,
den blir 11


Visa nu att du är fenomenal
att beräkna en rymddiagonal."
 

Du kan mejla din lösning till mig (alf@mathpuzzle.se)
Bengt B. och Pelle P. har löst uppgiften

Lösning         
 

Sista siffran i kvoten

Vilken är sista siffran i kvoten till höger?


Du kan mejla din lösning till mig (alf@mathpuzzle.se)
Pelle P. Birger J. och Bengt B. har löst uppgiften

Lösning            
 

Längdhoppet

I sin ungdom sysslade professor Kalkyl med friidrott.
En natt drömde han att han satte nytt världsrekord
i längdhopp.
Hur långt hoppade han i drömmen?
Det framgår av följande ekvation, där x är hoppets längd (i meter).
   


 

Du kan mejla din lösning till mig (alf@mathpuzzle.se)
Bengt B. Pelle P. och  Staffan R. har löst uppgiften.

Lösning       
   
 

Lantmätaren

En lantmätare och hans medhjälpare ritar upp en rätvinklig triangel på en horisontell slätt.
Sedan startar de samtidigt från den räta vinkelns spets och går utmed var sin katet och viker därefter in på hypotenusan. Deras hastigheter är 7,1 resp. 6,9 km/h. De möts mitt på hypotenusan och deras sammanlagda sträcka är 700 m.
a) Hur lång tid tog det innan de möttes?
b) Beräkna den rätvinkliga triangelns sidor.
 

Du kan skicka din lösning till alf@mathpuzzle.se
Bengt B. och Pelle P. har skickat lösningar.

                                       Lösning

Julklapparna

Tomtefar med den stora släden hade 101 julklappar med sig på julafton.
Den äldsta tomtenissen fick det här året förtroendet att köra en annan släde. Han hade med sig 68 julklappar.
En av de andra tomtenissarna använde en sparkstöttíng, när han levererade julklapparna.


Talen a, b och c är positiva heltal.
Följande samband råder:
a + b/c = 101
a/c + b =  68
(a + b)/c motsvarade antalet julklappar, som lastades på sparkstöttingen.
Hur många julklappar fanns det från början på sparkstöttingen?
 
Du kan skicka dina lösningar till mig 
Pelle P. och Staffan R. har skickat lösningar

Lösning        

 

                                                              Tillbaka till Klurigt