Apan och kokosnötterna (originalversionen)

Ett skepp förliste och fem av sjömännen lyckades ta sig iland till en öde ö. På ön fanns endast kokospalmer och en apa. Sjömännen ville vara säkra på att de skulle överleva och ägnade hela första dagen åt att samla kokosnötter, som de lade i en stor hög. Sedan var de så trötta att de lade sig att sova.

Efter ett tag vaknade sjöman nr 1 och tänkte: »Det är nog bäst att jag tar min femtedel av kokosnötterna innan de andra vaknar, annars kanske någon annan vaknar och tar mer än sin femtedel«.

Sagt och gjort. Han räknade nötterna och fann att om han kastade en nöt till apan så var resten jämnt delbart med 5. Han kastade alltså en nöt till apan, gömde undan sin femtedel och lade sig att sova.

Efter ett tag vaknade sjöman nr 2 och tänkte: »Det är nog bäst att jag tar min femtedel av kokosnötterna innan de andra vaknar, annars kanske någon annan vaknar och tar mer än sin femtedel«.

Sagt och gjort. Han räknade nötterna och fann att om han kastade en nöt till apan så var resten jämnt delbart med 5. Han kastade alltså en nöt till apan, gömde undan sin femtedel och lade sig att sova.

Sjömännen nr 3, 4 och 5 vaknade på samma sätt och gömde undan var sin femtedel precis som sjöman nr 1 och 2 hade gjort.

På morgonen vaknade alla och tyckte att högen med nötter var liten. Men eftersom att alla hade dåligt samvete räknade man bara nötterna  som fanns kvar och var och en fick sin femtedel.
Hur många kokosnötter fanns det från början?

 I Martin Gardners bok ”Rolig matematik” (1961) anges att problemet ursprungligen fanns i Saturday Evening Post 1926 i form av en novell av Ben Ames Williams. Tidningens redaktion översvämmades med flera tusen brev i veckan och därför skickade chefredaktören följande telegram till författaren:
FÖR GUDS SKULL HUR MÅNGA KOKOSNÖTTER STOP HÄR ÄR ETT RENT HELVETE
(I över tjugo år fortsatte brev att strömma in med begäran om rätt svar eller med förslag till lösningar)

Problemet leder till en svårlöst diofantisk ekvation med oändligt många lösningar.  Gardner gör en ingående analys och visar hur man hittar det minsta antalet nötter, som uppfyller villkoren i problemet.
Gardner anger slutligen en generell lösning, som ser olika ut beroende på om det är ett jämnt eller udda antal sjömän:
När antalet sjömän är udda, kan ekvationen skrivas  s = nⁿ – (n -1)   
s = det minsta antalet kokosnötter, som uppfyller villkoren i problemet  
och n = antalet sjömän
n=5 ð nⁿ – (n -1) = 5⁵ – (5 – 1) = 3125 – 4 =3121

Den som bara är intresserad av att så snabbt som möjligt få fram en lösning kan skriva ett enkelt BASIC-program.

10 FOR X= 1 TO 5000
20 A=4*(X-1)/5
30 B=4*(A-1)/5
40 C=4*(B-1)/5
50 D=4*(C-1)/5
60 E=4*(D-1)/5
70 F= E/5
80 IF F=INT(F) THEN PRINT X
90 NEXT X
100 REM  X = ANTALET NÖTTER, A = ANTALET NÖTTER, SOM ÄR KVAR, NÄR DEN FÖRSTA SJÖMANNEN TAGIT SIN FEMTEDEL OSV.
110 REM F =  ANTALET NÖTTER SOM VARJE SJÖMAN FICK VID DEN SLUTLIGA DELNINGEN

Tillbaka