Kapplöpningen, variant av ett problem (Sam Loyd)


Hästarna på bilden befinner sig på en gata som går längs ett fält, som begränsas av en stenmur.
Ryttarna kan välja att runda hörnet B för att komma till målet vid A eller hoppa över stenmuren på lämpligt ställe mellan B och C och sedan rida raka vägen till A.
På gatan galopperar hästarna med hastigheten 56 km/h, men på fältet är hastigheten 25 % lägre.
Finns det en punkt (D) mellan B och C, där hästen ska hoppa över stenmuren för att få den snabbaste tiden. Var ligger den punkten i så fall?

Några pedagogiska tips:

  • Hur lång tid tar det att komma till målet genom att runda hörnet B?

  • Hur lång tid tar  det, om hästen hoppar över muren vid punkten C?

  • Var ligger punkten D? Närmast punkten B eller C?

Uppgiften ger bl.a. träning på:

  • Procenträkning

  • Fartproblem

  • Pytagoras sats

  • Omvandling från timmar till minuter och sekunder

  • Rotekvation

  • Max- och minproblem

  • Inre derivata
Kapplöpningen
Svar: Punkten D ligger 1,7 km från B.
Lösning:
Vi undersöker de båda ytterlighetsfallen först.
Fall 1: Runda hörnet B
Avståndet = 2 km + 1,5 km = 3,5 km
Hastighet: 56 km/h
Tid: 3,5/56 h = 3 min 45 s
Fall 2:
Avståndet AC = 2,5 km (triangeln ABC är en rätvinklig triangel)
Hastighet: 0,75 • 56 km/h = 42 km/h
Tid: 2,5/42 h ≈ 3 min 34 s

Antag att det finns en punkt D mellan B och C som ger en snabbare tid.
Avståndet BD är x km.
Fall 3:
Tiden för avståndet CD och avståndet DA är
Vi kan behandla det här uttrycket som ett max- och minproblem,
dvs. derivera uttrycket och sedan sätta derivatan lika med noll.
Observera att det andra bråket också har en inre derivata.
x ≈ 1,7