Konsten att hitta enkla och eleganta lösningar!

Att hitta den enklaste och elegantaste lösningen är inte alltid så lätt. I de två första exemplen är det faktiskt NCM/Nämnaren, som presenterar lösningar som varken är enkla eller eleganta. (NCM=Nationellt centrum för Matematikutbildning)                       

Halvcirklarna 

Chokladkakan Biet Tåget Cirklarna

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exempel 1: Halvcirklarna (Kängurutävlingen 2005, Junior uppg. 15)

Bilden föreställer tre halvcirklar. Ändpunkterna A och B på den
övre halvcirkeln ligger rakt ovanför mittpunkterna E och F till
de två undre halvcirklarna. Om varje halvcirkel har radien 2 cm,
hur många cm2 är arean av det skuggade området?

 

NCM föreslår följande lösning:
För att få det skuggade området ska fyra cirkelsegment subtraheras från (den röda) cirkelns area.
Det ger · 2 ·2 – 4( – 2) = 8.

 
Den lösning som jag föreslagit (NCM: Månadens problem för febr. -07) är dock både enklare och elegantare.


Det blå området och det röda området i den vänstra figuren flyttas enligt figuren till höger.
De färgade områdena i den högra figuren bildar då en rektangel med sidorna 4 cm och 2 cm.
A = 4 . 2 cm2 = 8 cm2

Tillbaka

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exempel 2: Chokladkakeproblemet

En kaka är chokladglaserad på alla sidoytor utom den kvadratiska botten. Tomtemor vill skära kakan i fem bitar så att var och en av de fem medlemmarna i familjen får samma mängd kaka och lika mycket glasyr. Alla snitt ska vara vinkelräta mot kakans översida och varje tomte ska få sin del som en sammanhängande bit.
Hur ska det gå till?

 

När en professor i matematik (Nämnaren 2001) ska lösa det här problemet föreslår han följande strategi:
Dela in randen  (av ovansidan min anm.) i 5 lika delar och ”fortsätt sedan dessa inåt” på ett sådant sätt att motsvarande delar får rätt area.

Den metoden tillämpas i det första exemplet.

 

 
I det andra exemplet är målsättningen att  få så många symmetriska områden som möjligt.


Följande instruktioner ges:
 
Börja med att markera en kvadratisk bit kring varje hörn med sidlängd 2 och area 4. Utöka sedan varje hörnbit så att arean blir 4+1, t.ex. genom att "tjocka" 3 längdenheter med 1/3. Se pilarna
Komm.: Strategin att dela randen i fem delar är korrekt, men sedan hittar inte professorn den teoretiskt sett enklaste lösningen. De praktiska problemen, som han råkar ut för, när han ska dela kakan, ska vi bara inte tala om!


Så här tycker jag att lösningen bör se ut:
På bilden till höger är ovansidans rand indelad i fem lika stora delar. Delningslinjerna sammanstrålar i ovansidans (kvadratens) mittpunkt.

Antagande:
Kvadratens sida är a cm och randen till det gula området är (x + y) cm.

Påst.:
Varje del utgör då en en femtedel av hela kakan.

Bevis:
Kvadratens omkrets är 4a cm.
Då är (x + y) = 4a/5 (1)
Kvadratens area är a2 cm2. Det  gäller därför att bevisa att det gula områdets area är a2/5 cm2.

  
Det gula området kan delas upp i två trianglar
Deras sammanlagda area är

Men (x + y) = 4a/5 enligt ekv. (1)
 Arean kan därför skrivas

 
V.S.B.


Professorns kommentar till min lösning: Jag tror du har helt rätt, jag hade helt enkelt inte tänkt på detta. Vad jag förstår funkar din lösning lika bra för en godtycklig regelbunden m-hörning och ett godtyckligt antal bitar x.

Tillbaka

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Exempel 3: Biet
 

Två tåg på ett avstånd av 200 km startar samtidigt och kör i riktning mot varandra med en hastighet av 100 km/h. Ett bi flyger förskräckt upp framför det vänstra tåget för att komma undan. Det flyger utmed järnvägsspåret med hastigheten 150 km/h. (Ett amerikanskt bi – störst och bäst – klarar det mesta!). När biet möter det andra tåget, tvärvänder det och flyger i motsatt riktning. Resultatet blir att biet flyger fram och tillbaka mellan tågen, tills dessa möts. Då är biet fullständigt sönderstressat och faller dött till marken – en sorglig historia!
Hur lång är den sammanlagda sträcka som biet har flugit?
(Ett amerikanskt bi kan både accelerera och bromsa in på nolltid.)
Metod 1:
De sträckor som biet flyger, bildar en geometrisk serie.
När biet möter ett tåg är den sammanlagda hastigheten 250 km/h.
När biet flyger bort från ett tåg är hastighetsskillnaden 50 km/h.
Låt sträckan mellan tågen, när biet startar, vara x km.
För dessa hastigheter gäller då:
Biets hastighet är tre femtedelar av den sammanlagda hastigheten.
Därför har biet flugit km, när det möter tåget första gången.
Hastighetsskillnaden (50 km/h) är en tredjedel av biets hastighet. Då blir avståndet mellan biet och det vänstra tåget (km), när biet vänder första gången.
Konstanten k i den geometriska serien är därför
I det här exemplet är x = 200 km.
Första termen (a) i denna geometriska serie är därför
Summan av denna oändliga geometrisk serie beräknas med formeln
dvs.
Svar: Biet flyger sammanlagt 150 km.
 
Metod 2: Men det finns förstås en betydligt elegantare lösning!
Tågen möts efter en timme.
På en timme har biet med hastigheten 150 km/h flugit 150 km.
 
Anm.: John von Neumann räknas som en av 1900-talets stora matematiker.
Dessutom var han extremt duktig att lösa matematiska problem som huvudräkning.
Han lär en gång ha fått det här problemet. Efter några sekunder svarade han: 150 km.
Problemställaren sade då något besviket: "Jag förstår att du hittade den enkla lösningen. Du beräknade alltså inte summan av den geometriska serien."
John von Neumann: "Men det var ju det jag gjorde!"

Tillbaka

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Exempel 4: Tåget
 
Ett tåg består av ett lok och fem vagnar (A, B, C, D och E).
På hur många sätt kan vagnarna ordnas så att vagn A kommer närmare loket än vagn B kommer?
 
Metod 1:
Vi utreder olika alternativ:
A        
Övriga fyra vagnar kan placeras på 4! = 1.2.3.4 = 24 sätt.
  A      
På plats nr 1 (röda fältet) kan man välja mellan tre alternativ (C, D och E).
På de tre platserna efter vagn A kan sedan återstående vagnar placeras på 3! sätt = 6 sätt.          Totalt: 3 . 6 sätt = 18 sätt.
    A    
Man undersöker på hur många sätt två av vagnarna C, D och E kan placeras på plats nr 1 och plats nr 2. Man inser lätt att det finns sex möjligheter (CD, DC, CE, EC, DE och ED). På de två sista platserna (svarta resp. gröna fältet) kan B och den återstående vagnen placeras på två sätt. Totalt: 6 . 2 sätt = 12 sätt.
      A  
I det här fallet måste B placeras på den sista platsen i tågsättet. Övriga tre vagnar kan placeras på 3! sätt = 6 sätt.
        A
Naturligtvis ger detta alternativ inga nya möjligheter.
Sammanlagt: 60 sätt

Metod 2:
Fem vagnar kan placeras på 5! sätt = 1.2.3.4.5 sätt = 120 sätt. I hälften av dessa fall kommer vagn A före vagn B.

Tillbaka

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Exempel 5: Cirklarna
 
De två cirklarna överlappar delvis varandra. De båda utritade radierna bildar rät vinkel. Hur stor är differensen mellan det röda och det blå området?
 
Metod 1:
Det går att räkna ut storleken av det röda och blå området för att sedan räkna ut differensen mellan det röda och det blå området. Men en så krävande arbetsinsats vill man naturligtvis undvika.
 
Metod 2:
Allmänt kan man säga att om cirkeln med radien 20 cm har arean A cm2, cirkeln med radien 15 cm har arean B cm2 och det gemensamma området är C cm2, gäller följande:
Det röda området är (A - C) cm2 och det blå området är (B - C) cm2. (se figur)
Differensen blir då (A - C) cm2 - (B  - C) cm2 = (A - B) cm2 = (202 - 152 ) cm2 = 175 cm2

Anm.: Uppgiften om att radierna bildar rät vinkel var således överflödig.

Tillbaka