Den förtrollade dammen –
ett problem, som kanslisten på skolan presenterade för mig för 20 år sedan, när vi satt och väntade på en konferens.


Den förtrollade dammen

En gammal dam var på väg till kyrkogården för att sätta blommor på tre gravar.
När hon kom till den första graven, upptäckte hon en liten damm. Hon doppade blommorna i dammen och när hon tog upp dem, hade hon dubbelt så många blommor - det var en förtrollad damm!

Hon satte några blommor på den första graven och gick vidare till nästa grav. Där fanns det också märkligt nog en damm! Hon doppade blommorna i dammen och när hon tog upp dem, hade antalet blommor fördubblats. Hon satte några blommor på graven och fortsatte sedan till den tredje graven. Även där fanns det en förtrollad damm. Än en gång fördubblades antalet blommor, när hon doppade dem i dammen.

Den gamla damen satte nu alla sina återstående blommor på den tredje graven.

Hur många blommor hade hon från början?

Hur många blommor satte hon på varje grav?

(Hon hade faktiskt utan att tänka på det satt lika många blommor på varje grav.)


När jag nästa dag presenterade jag min lösning för kanslisten, sa hon att min lösning stämde.

Men vet du, sade jag, att det inte är den enda lösningen? Det finns tvärtom oändligt många lösningar till det här problemet!

Nej, det kände hon inte till och så berättade hon bakgrunden till problemet.

Hon växte upp på en bondgård i Ingatorp och när hon var i 10-årsåldern byggde man om ladugården. Det visade sig att byggmästaren var otroligt intresserad av matematiska problem och så fort han fick se Gunnel (kanslisten) ropade han: Vänta Gunnel, så ska du få ett matte­problem!

Ett av dem var ”Den förtrollade dammen” .


Jag prövade att låta eleverna i åk 7 byta ut ett par uppgifter på veckoläxan mot det här problemet och de flesta eleverna blir fascinerade av uppgiften och försöker verkligen hitta en lösning. Många gånger blir också hela familjen engagerad. På det här stadiet hittar man nästan alltid lösningen genom att testa olika ingångsvärden.

Men problemet skulle också mycket väl kunna ges till gymnasieelever!

Deras uppgift blir då att hitta en generell lösning.

Lösning

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En allmängiltig lösning

Antag att hon hade med sig x blommor och att hon satte y blommor på varje grav.

När hon lämnade

a) den första graven hade hon 2x-y blommor

b) den andra graven hade hon 2(2x-y)-y blommor

c) den tredje graven hade hon 2(2(2x-y)-y)-y blommor

men vi vet också att hon inte hade några blommor kvar!

Det ger oss ekvationen: 2(2(2x-y)-y)-y = 0  
                                                          
x = 7y/8

Heltalslösningar kräver att y är en multipel av 8.

Den enklaste lösningen är därför x = 7 och y = 8

Allmänt gäller att x = 7 n och y = 8 n      n = 1, 2, 3…

Lösningen x=7 och y=8 är den lösning som eleverna i åk 7 brukar hitta.

 

När Gunnel hade kommit fram till den lösningen, sprang hon glad i hågen till byggmästaren och berättade att hon visste svaret.

Byggmästaren svarade:

- Ja, det är riktigt, men om den gamla damen istället fick 10 gånger så många blommor, när hon doppade ner dem i dammen: Vad skulle svaret bli då??

Det klarade inte Gunnel, men så är ju den uppgiften också avsevärt mycket svårare, dvs. såvida man inte kan hitta en generell lösning!


Vi ska se hur en sådan allmängiltig lösning ser ut:

Låt f ange förändringsfaktorn vid dammförtrollningen
(f = 2 betyder en fördubbling)

I det ursprungliga problemet såg ekvationen ut så här: 2(2(2x-y)-y)-y = 0

De tre tvåorna visar att vi hade en fördubbling vid varje damm. I den generella lösningen byter vi ut tvåorna mot variabeln f.


Ekvationen kommer då att se ut så här:
f (f (fx-y)-y)-y = 0

Antal blommor från början: n(f2 + f + 1)       n = 1, 2, 3....

Antal blommor på varje grav: n f3                 n = 1, 2, 3....

(Om f = 10, skulle den enklaste lösningen vara, att den gamla damen hade med sig 111 blommor. På varje grav skulle hon då sätta 1000 blommor. Utan tvekan är det svårare att hitta den lösningen, när man provar olika ingångsvärden!)

Tillbaka