Den förtrollade dammen – ett problem, som kanslisten på skolan
presenterade för mig för 20 år sedan, när vi satt och väntade på en konferens.
En gammal dam var på väg
till kyrkogården för att sätta blommor på tre gravar.
När hon kom till den första graven, upptäckte hon en liten damm. Hon doppade
blommorna i dammen och när hon tog upp dem, hade hon dubbelt så många blommor -
det var en förtrollad damm!
Hon satte några blommor på
den första graven och gick vidare till nästa grav. Där fanns det också märkligt
nog en damm! Hon doppade blommorna i dammen och när hon tog upp dem, hade
antalet blommor fördubblats. Hon satte några blommor på graven och fortsatte
sedan till den tredje graven. Även där fanns det en förtrollad damm. Än en gång
fördubblades antalet blommor, när hon doppade dem i dammen.
Den gamla damen satte nu
alla sina återstående blommor på den tredje graven.
Hur många blommor hade hon
från början?
Hur många blommor satte
hon på varje grav?
(Hon hade faktiskt utan
att tänka på det satt lika många blommor på varje grav.)
När jag nästa dag presenterade jag min lösning för kanslisten, sa hon att min
lösning stämde.
Men vet du, sade jag, att
det inte är den enda lösningen? Det finns tvärtom oändligt många
lösningar till det här problemet!
Nej, det kände hon inte
till och så berättade hon bakgrunden till problemet.
Hon växte upp på en
bondgård i Ingatorp och när hon var i 10-årsåldern byggde man om ladugården.
Det visade sig att byggmästaren var otroligt intresserad av matematiska problem
och så fort han fick se Gunnel (kanslisten) ropade han: Vänta Gunnel, så ska du
få ett matteproblem!
Ett av dem var ”Den
förtrollade dammen” .
Jag prövade att låta eleverna i åk 7 byta ut ett par uppgifter på veckoläxan
mot det här problemet och de flesta eleverna blir fascinerade av uppgiften och
försöker verkligen hitta en lösning. Många gånger blir också hela familjen
engagerad. På det här stadiet hittar man nästan alltid lösningen genom att
testa olika ingångsvärden.
Men problemet skulle också
mycket väl kunna ges till gymnasieelever!
Deras uppgift blir då att
hitta en generell lösning.
Lösning
Antag att hon hade med sig x
blommor och att hon satte y blommor på varje grav.
När hon lämnade
a) den första graven hade
hon 2x-y blommor
b) den andra graven hade
hon 2(2x-y)-y blommor
c) den tredje graven hade
hon 2(2(2x-y)-y)-y blommor
men vi
vet också att hon inte hade några blommor kvar!
Det ger oss ekvationen: 2(2(2x-y)-y)-y
= 0
x = 7y/8
Heltalslösningar kräver
att y är en multipel av 8.
Den enklaste lösningen är
därför x = 7 och y = 8
Allmänt gäller att x =
7 • n och y = 8 • n n = 1, 2, 3…
Lösningen x=7 och y=8 är
den lösning som eleverna i åk 7 brukar hitta.
När Gunnel hade kommit fram
till den lösningen, sprang hon glad i hågen till byggmästaren och berättade att
hon visste svaret.
Byggmästaren svarade:
- Ja, det är riktigt, men
om den gamla damen istället fick 10 gånger så många blommor, när hon doppade
ner dem i dammen: Vad skulle svaret bli då??
Det klarade inte Gunnel,
men så är ju den uppgiften också avsevärt mycket svårare, dvs. såvida man inte
kan hitta en generell lösning!
Vi ska se hur en sådan allmängiltig lösning ser ut:
Låt f ange förändringsfaktorn
vid dammförtrollningen
(f = 2 betyder en fördubbling)
I det ursprungliga
problemet såg ekvationen ut så här: 2(2(2x-y)-y)-y = 0
De tre tvåorna visar att
vi hade en fördubbling vid varje damm. I den generella lösningen byter vi ut
tvåorna mot variabeln f.
Ekvationen kommer då att se ut så här: f • (f• (f•x-y)-y)-y = 0
Antal blommor från början:
n(f2 + f + 1) n = 1, 2, 3....
Antal blommor på varje
grav: n •f3 n = 1, 2, 3....
(Om f = 10, skulle den
enklaste lösningen vara, att den gamla damen hade med sig 111 blommor. På varje
grav skulle hon då sätta 1000 blommor. Utan tvekan är det svårare att hitta den
lösningen, när man provar olika ingångsvärden!)
Tillbaka