Åkern (lösning)

 

a)
I vilken punkt möts de, om de ska mötas så snabbt som möjligt?
Svar: På mittpunkten av sträckan AB (45 m öster och 35 m norr om det sydöstra hörnet)
Lösning:
För att både A och B ska komma så snabbt som möjligt till mötespunkten, ska den ligga på mittpunkten på sträckan AB.
Carl kommer att ha det kortaste avståndet till den mötespunkten. Vi kan därför koncentrera oss på A och B.
Vi bestämmer denna punkt med hjälp av likformighet.


b)
Vilket är det minsta tänkbara värdet för den gemensamma gångsträckan?
Svar: ca 114 m (Mötespunkten ligger ca 41 m öster och 9 m norr om det sydvästra hörnet).
Lösning:
Antag att mötespunkten ligger x m öster om och y m norr om det sydvästra hörnet.
Avståndet är då

I stället för att beräkna minimivärdet med partiell derivering som ger krångliga uträkningar, kan man lätt lösa problemet med ett enkelt BASIC-program.
Det går också att utnyttja ett kalkylprogram.

En grafisk metod är Fermat point. Med hjälp av den metoden kan man hitta den punkt i en triangel, där det sammanlagda avståndet från triangelns tre hörn är så litet som möjligt.
Instruktionen nedan gäller då alla vinklar i triangeln är <120o

Den här metoden passar perfekt till "det minsta tänkbara värdet för böndernas gemensamma gångsträcka".
Bönderna finns i punkterna A, B och C. (se figur till höger)

Gör så här:
1) Rita ut triangeln ABC (blå färg).
2) Rita liksidiga trianglar på sidorna AB, BC och CA (grön färg).
3) Rita linjer (röd färg) från de liksidiga trianglarnas nya hörn till motsatta hörnet i den blå triangeln
4) Skärningspunkten mellan de röda linjerna är böndernas mötespunkt. Koordinaterna ca (41;9)

Extrauppgift
Svar: 126 m
Lösning:
Se figur till höger.
Sträckan DP är 10 m
Om vi med Pythagoras sats kan visa att AP och PC är naturliga tal, så är problemet löst.
Det finns en rätvinklig triangel med sidorna 5, 12 och 13 (Indisk triangel)
Eftersom DP är 10 m, kan vi bilda triangeln ADP med dubbelt så stora sidor (10, 24 och 26 m).
Då är PB (90 - 24) m = 66 m
I triangeln CEP är EC (40 - 24) m = 16 m och EP (40 - 10) m = 30 m
Det finns en rätvinklig triangel med sidorna 8, 15 och 17. Triangeln CEP har dubbelt så stora sidor som denna triangel. PC är därför 34 m.
Det sammanlagda gångavståndet är därför (26 + 66 + 34) m = 126 m
 
Extrauppgift 2
a) Svar:
Ja, 20 m väster ut.
Lösning:

Arean =
B flyttar sig 20 m väster ut.
 

b) Svar:

Den kortaste sträckan blir

Lösning:
Ett sätt att beräkna arean på en triangel med hjälp av triangelns koordinater är att använda vektorer och beräkna kryssprodukten.
En förenklad formel ser ut så här

OBS! | | i formeln ovan betyder absolutbelopp.

Låt origo ligga i rektangelns nedre vänstra hörn och låt hörnet B ha koordinaterna (x,y).
Vi får då koordinaterna Ax = 0  Ay = 40  Bx = x  By = y  Cx = 40  Cy = 0
Sätt in koordinaterna i formeln samt arean 1200.
Efter förenkling får man x + y = 100   
y = 100 - x     dvs. alla punkter på y = 100 - x ger i det här fallet arean 1200.
y = 100 - x har k-värdet - 1. Den kortaste sträcka som B går, måste vara vinkelrät mot y= 100 - x, dvs. k-värdet är då 1 för denna sträcka.
Denna sträcka har ekvationen y= 1 . x - 60
Ekvationssystem
x + y = 100
     y  = x - 60      Det ger lösning x = 80
                                              y = 20

Den kortaste sträckan mellan punkterna (90,30) och (80,20) blir

 

            Tillbaka

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 CLS
20 S = 150: REM STARTA MED ETT VÄRDE PÅ S, SOM ÄR STÖRRE ÄN DET SÖKTA VÄRDET
30 FOR X = 1 TO 90
40 FOR Y = 1 TO 40
50 A = SQR(X^2 + (40-Y)^2) + SQR((90-X)^2 + (30-Y)^2) + SQR((40-X)^2 + Y^2)
60 IF A<S THEN LET S=A:X1=X:Y1=Y
70 NEXT Y
80 NEXT X
90 PRINT S;X1;Y1: REM  S ÄR DEN MINSTA STRÄCKAN, X1 och Y1 ÄR PUNKTENS KOORDINATER
                

Tillbaka