Månadens problem
november 2021 (lösningar)

Uppg. 1: 
Svar:
225 
Lösning:
Antag att antalet små kvadrater är a2
Antal skuggade kvadrater är 2a - 1 (-1 eftersom mittenrutan är räknad 2 ggr)
Antal vita kvadrater: a2 - (2a - 1) = a2 - 2a + 1
Ekvation: a2 - 2a + 1 = 196

Lös denna andragradsekvation!
a1= 15
(a2= - 13)
Antalet små kvadrater: 152 = 225
 
Uppg. 2:
Svar:
Lösning:

a)
Svar:
4 1/8 h = 4 h 7,5 min
Lösning:

Med motorcykel tar det 135/90 h = 1,5 h att köra till orten X.
C har då gått 1,5 . 6 km = 9 km.
När A vänder om för att möta C är sträckan (135 - 9) km = 126 km och den sammanlagda hastigheten (90 + 6) km/h = 96 km/h.
A och C möts efter 126/96 h = 21/16 h
Vägen tillbaka till X tar också 21/16 h.
Total tid:1,5 h + 2 . 21/16 h = 4 1/8 h

b)
Svar: 3 h 50 min

 

 

 

 

Lösning:
Av "symmetriskäl" inser man att alla tre kommer till orten X snabbast, om B och C går lika långa sträckor (x km i fig. 2) och åker motorcykel lika långa sträckor
(135 - x km i fig. 2)
A kör och B åker med på motorcykeln till
punkten 1 och B går sedan till orten X.
A vänder om och möter C i punkten 2. Därefter åker A och C till X.
När A möter C, har A kört
(135 - x) + (135 - 2x) = 270 - 3x (km)
Tid: (270 - 3x)/90                         (1)
Under samma tid har C gått x km.
Tid: x/6                                       (2)
Ekv.: (270 - 3x)/90 = x/6
x = 15
Den sammanlagda tiden kan skrivas som tiden C går + tiden med A+C på mc:n.
Sammanlagd tid (h): x/6 + (135 -x)/90
x = 15 =>
Total tid: (15/6 + 120/90) h = 3 h 50 min

Av fig. 2 framgår att B och C går lika långa sträckor (x km) och åker motorcykel lika långa sträckor (135 - x km). Därför kommer A, B och C samtidigt till orten X.
 

Uppg. 3:
Svar:
cm3 121 cm3
Lösning:
Om sträckorna QM, CD, PN förlängs, kommer de att skära varandra i en punkt (R). Man får då en pyramid med CPQ som basyta.
Denna pyramid är likformig med pyramiden med DMN som basyta och spetsen i punkten R. Längdskalan är 2:1
Då är volymskalan 23:1 = 8:1.
Volymen av QPCDMN är därför 7/8 av volymen av pyramiden CPQR.
CQ = 8 cm. Då är CP = 4 cm och PQ = cm.
Pyramiden CPQR:s basyta = 4 . /2 cm2
Pyramiden CPQR:s höjd = 2 . 15 cm = 30 cm
Pyramiden CPQR:s volym:   cm3
     
Uppg. 4
Svar:
Siffersumman är 11
Lösning:
2k . 5300
Om k = 300 kan 2k . 5300 skrivas 2300 . 5300  (2 . 5
)300 = 10300
Talet 10300 består en etta och 300 st. nollor.
För att få ett tal med 303 siffror måste
10300 multipliceras med ett tresiffrigt tal.
Det minsta värde som 2 kan upphöjas till för att få ett tresiffrigt tal är 7.
27
= 128   Då är k = 300 + 7 = 307
2307 . 5300 = 27 . 10300 = 128 . 10300
Siffersumman är då 1 + 2 + 8 + 0 + ..... + 0 (300 st nollor) = 11
 
Uppg. 5
Svar: Emma ritade först grafen till y = 2x2 + 4x
Lösning:
a)
Låt den första funktionen vara f(x)1= ax2 + bx
Den parallellförskjutna funktionen, 4 steg åt höger, får man genom att ersätta x med (x - 4)
f(x)2 = a(x - 4)2 + b(x - 4)

Skärningspunkten ger ekvationen
ax2 + bx = a(x - 4)2 + b(x - 4)
Vi vet att skärningspunkten har x-värdet 1.
a + b = a(1 - 4)2 + b(1 - 4)
a + b = 9a - 3b
     4b = 8a
      b = 2a (1)
Skärningspunkten har y-värdet 6, dvs.
ax2 + bx = 6  men x = 1 och b = 2a enligt (1)
a + 2a = 6
       a = 2     då är b = 2a = 4

Emma ritade först grafen till y = 2x2 + 4x.

Anm.:
Om grafen flyttas 4 steg åt vänster ersätter man x med (x + 4).
b)
Svar:
 16/3 a.e.
Lösning:
I figuren är x = 1 symmetrilinje till arean, dvs. den röda och gula arean är lika stora.
Den röda arean: = = 8/3
Hela arean = 2 . 8/3 = 16/3 (a.e.)
 

    Tillbaka