Månadens problem
november 2018 (lösningar)

Uppg. 1: 
Svar:
 3:1
Lösning:
 Rita in sträckan OD i figuren.
Vi vet att ED och radien OA är lika stora.
Då är ED och radien OD lika långa och de små vinklarna i den likbenta triangeln DEO lika stora. Vi kallar vinklarna för x.
Vinkeln CDO är 2x (Yttervinkel till trinangeln DEO.)
Triangeln CDO är likbent. Därför är vinkeln DCO = vinkeln CDO = 2x.
Vinkeln COB är 3x (Yttervinkel till triangeln CEO.
Vinkeln COB/vinkeln DEA = 3x/x = 3:1
 
Uppg. 2:
 

Svar: 3 cm
Lösning:
Antagande enligt figur.
Vi beräknar hörntrianglarnas sidor med Pythagoras sats.

x2 + (23 - x)2 = 172
Efter förenkling får vi
x2 - 23x + 120 = 0
x = 23/2 ± 7/2
x1 = 15
x2 = 8

Det finns en formel för att räkna ut radien i den inskrivna cirkeln, men vi kan också lätt räkna ut radien på det här sättet:
Hörntriangeln kan delas upp i tre trianglar enligt figuren.
Vi kan sedan bilda en ekvation genom att teckna arean på två sätt
8r/2 + 15r/2 + 17r/2 = 8 . 15/2
40r = 120
   r = 3


Uppg. 3
a)
Svar:
Amanda hinner ikapp Sara efter 54 minuter.  
Lösning:
Sara har cyklat i 6 min när Amanda börjar cykla. 6 min = 1/10 h.
Antag att Amanda har cyklat i x h, när hon hinner ikapp Sara.
Ekv.: 30x = 24(x + 1/10)
          6x = 2,4
            x = 0,4
0,4 h = 24 min
Amanda hinner ikapp Sara efter
30 min (simning) + 24 min (löpning) = 54 min 
b)
Svar:
T.ex. Amanda springer 10 km på 40 min och Sara på 45 minuter
Lösning:
Efter två delmoment:

Amanda: 30 min + 40/30 h = 30 min + 1 h 20 min = 1 h 50 min
Sara:     24 min + 40/24 h = 24 min + 1 h 40 min = 2 h 4 min.
Amanda leder med 14 min efter två delmoment.

I mål är Amanda 19 min före Sara.
Amanda springer alltså 10 km 5 minuter snabbare än Sara.
Ingen av dem tillhör absoluta eliten:
Simning 24 min resp. 30 min (Lisa Nordén, 2:a vid OS 2012 tid: 20:04)
Cykling: 1 h 40 min resp. 1 h 20 min (Lisa Nordén 1:06:02)
Löpning: Lisa Nordén 33:42
Ett tänkbart exempel: Amanda springer 10 km på 40 min (15 km/h) och Sara 45 min.
 
Uppg. 4
Svar:
Sannolikheten att Britta är närmare Adam än Cissi är 1/3
Lösning:
När Britta befinner sig i punkterna X och Y är avståndet till Adam och Cissi lika stort. Adam, Britta och Cissi står då i hörnen av en liksidig triangel.
När Britta befinner sig på den röda cirkelbågen är avståndet till Adam mindre än Cissi. Medelpunktsvinkeln till den röda cirkelbågen är 120o
När Britta befinner sig på den svarta cirkelbågen är avståndet till Adam större än till Cissi. 
Sannolikheten för att Britta är närmare Adam än Cissi är 120/360 = 1/3
 
Uppg. 5
Svar:
Man kan välja på 241 920 olika sätt.
Lösning:
6 herrar kan ha värdinnan till bordet. När värdinnan har fått sin bordskavaljer, kan resterande damer placeras på 8! olika sätt.
Multiplikationsprincipen ger 6 . 8! olika sätt = 241 920
(Elementär kombinatorik ex. 5.6)
 

    Tillbaka