Maximera!
cm), när triangeln har maximal area. Triangeln EFG:s maximala area är
Lösning:
Diagonalen AC är 10 cm (Pythagoras sats på triangeln ABC).
Fall 1: E ligger på sidan AD
Låt BF = x. Då är AF = 8 - x
Trianglarna ABC, AEF och BFG är likformiga, eftersom de är likvinkliga (se figur).
Eftersom sidorna i triangeln ABC är 6, 8 och 10 cm är förhållandet mellan sidorna i de tre trianglarna 3:4:5.
Sidan FG i triangeln BFG är 5x/4 och sidan EF i triangeln AEF är 5(8-x)/3
Arean av triangeln EFG är
AE = 4 . 4/3 cm =
cmA(x) = 16 2/3 är ett maximum, eftersom andraderivatan är negativ.
Fall 2: E ligger på sidan CD
Vi tittar först på extremfallet att E ligger i hörnet D.
Förhållandet mellan sidorna i de likformiga trianglarna är fortfarande 3:4:5.
I triangeln AEF blir då AF 4,5 cm och EF 7,5 cm.
BF blir då 8 cm - 4,5 cm = 3,5 cm.
FG i triangeln BFG blir 5 . 3,5/4 = 4,375 cm.
Arean av triangeln EFG blir 4,375 . 7,5/2 cm2 ≈ 16,4 cm2 dvs. mindre area än i Fall 1.
Om punkterna E och F förskjuts åt höger förändras inte längden av sträckan EF.
Däremot blir sträckan FG mindre och därmed också arean av triangeln EFG mindre.
Därmed har vi visat att vi fick den största arean i Fall 1.
Studentexamen biologisk gren HT 1957:8