"Genusproblem"

Uppg. 1: Svar: Det finns 3 bröder och 4 systrar i syskonskaran. Lösning: Antag att syskonskaran består av x bröder och y systrar.   Antal bröder antal systrar Erik x - 1 y Anna x y - 1 Ekv.: y = 2(x - 1) x = y -1 Lösningen till detta ekv.system är x = 3                                               y = 4

Uppg. 2: Svar: 85 flickor och 35 pojkar deltog i algebrakursen. Lösning: 5/7 av Rasmus kurskamrater var flickor och 12/17 av Amandas kurskamrater var flickor. 5/7 = 85/119 12/17 = 84/119 Då kan man dra slutsatsen att var och en hade 119 kurskamrater, varav 85 var flickor. (Amanda hade ju 84 kvinnliga kurskamrater.) Totalt deltog 120 elever i kursen. Antalet pojkar är därför 120 - 85 = 35. Anm.: Givetvis kan man använda en ekvation för att lösa problemet. Antag att det var x elever på kursen och att av dem var det y flickor. Ekv.: y/(x-1) = 5/7            (1) (y-1)/(x-1) = 12/17   (2) Ledvis division ger: y/(y - 1) = 85/84           y = 85 y = 85 insatt i ekv. (1) ger x = 120 Antalet pojkar är 120 - 85 = 35

Uppg. 3: Svar: 16 pojkar och 12 flickor var närvarande vid den första lektionen. (Detta är den enda lösningen.)   Lösning: Antag att det var x pojkar och y flickor närvarande vid den första lektionen. Första lektionen: Antal pojkar/antal flickor = x/y Andra lektionen: Antal flickor/antal pojkar = y/(x - 7) Ekv.: x/y = y/(x - 7) Efter förenkling får  man x(x - 7) = y2  (1) Högra ledet är en kvadrat. Om såväl x som (x - 7) också är kvadrater skulle detta vara en lösning till problemet. Skillnaden mellan två på varandra följande heltals kvadrater är ett udda tal. De två kvadrater, där differensen är 7, är 16 och 9. Om dessa värden sätts in i ekv. (1) får man 16 . 9 = y2 y2 = 144 y  = ± 12 Anm.: 1) När jag bad "Fråga Lund" om ett bevis för att detta är den enda lösningen, fick jag följande förslag: 2) Bengt B. har skickat en intressant, generell lösning: Den diofantiska ekvationen p/f=f/(p-g) skulle kunna skrivas p*p-p*g = f*f  men jag valde formen p*p-p*g - f*f =0 och införde n som argumentet för rotuttrycket man får då man löser ekv. map p  p = (g+-n)/2 där n*n=g*g+4*f*f   (**) Ekvationen (**) omskrives till  (n+2f)*(n-2f)= g*g  som har en unik lösning n=2f+1  p=(g+n)/2  f=(n-1)/2 då och bara då g är udda primtal. p>f>=1 ger n>=3,   p=2 skulle ge g=1 vilket ej duger (1 är varken primtal eller kan lösa ekvationen (n+2f)*(n-2f)=g*g =1) för hela pos n,f  (n+2f)>=5) Så en unik lösning endast om g är ett udda primtal (3,5,7 är ex på det) Däremot har problemet flera lösningar för sammansatta udda tal jag har studerat alla sådana udda tal <100 och hittat intressanta samband. Jag trodde ett tag att endast udda tal g kan lösa   p/f=f/(p-g)  (*) Men det är ej sant Antag att det finns ett udda tal  g  som löser (*) Då gäller att (2p)/(2f)=(2f)/((2p)-(2g)) = f/(p-g)=p/f  som visar att det jämna talet 2g löser problemet (*) med dubbla värden på p och f. Dessutom ger det samma förhållande på p/f = (2p)/(2f). Däremot kan det jämna talet 2g ge upphov till flera lösningar än det udda g=u. Alla udda tal kan skrivas på formen u = 2x+1 Väljer vi x>0 gäller u>=3 väljer vi p = antalet pojkar som (2x+1)^2 och f = antalet flickor som x(x+1)  får vi p/f = (x+1)/x = x(x+1) / ((2x+1)^2 -(2x+1)) = f/(p-f) Så vi har minst en lösning för varje udda tal u  Lösningen till (**) är unik endast om u=g , g är primtal Enda faktorisering i två olikstora  positiva faktorer är (n+2f)= g*g och (n-2f)=1 För jämna g kan vi göra observationen u=g/(2^k) för något  k>=1 Så jag har nu visat  att  p/f=f/(p-g)  har minst en lösning för alla udda g>=3 Saknar  lösning för g=1  (och g=2) Unik lösning då g är udda primtal har minst en lösning för alla jämna tal   g  med minst en udda faktor >=3 Återstår alla g på formen 2^k , k heltal >=2,  (2^0=1  2^1=2) Slutligen vårt fall med g=u=7 (primtal). Där är den enda lösningen p=(4^2)=16    f = 4*3 = 12    p/f = 16/12= 4/3= 12/9=f/(16-7) = f/(p-g)