Månadens problem
 
maj 2006 (lösning)

 
Marmorplattorna
Lätt: Rum nr 1
Svar: 40 plattor eller 160 plattor av svart marmor
Lösning:
Alt. 1:
77 vita marmorplattor = 7 * 11 vita marmorplattor
Golvets mått är därför (7+2)(11+2)=9*13 plattor.

Antalet svarta plattor kan räknas ut på flera sätt:
 2*9 + 2*13 -4 = 18 + 26 - 4 =40
 2*8 + 2*12 = 16 + 24 = 40
 9*13 - 77 = 117 - 77 = 40

Alt 2:
77 vita marmorplattor = 1 * 77 vita marmorplattor
(I praktiken kan väl ett rum knappast se ut på det här sättet!)
Antalet svarta plattor:
3*79 - 77 = 160
 

Medel: Rum nr 2
Svar: Golvet bestod av 1521 plattor
Lösning:
Om det ska ligga plattor som bildar en diagonal, måste rummet vara kvadratformigt!
Före förändringen fanns det (4a - 4) svarta marmorplattor.
a= antalet plattor längs en sida.
En diagonal innehåller (a-2) nya svarta plattor. Den andra diagonalen bidrar med (a-3) plattor, eftersom plattan i mitten redan är medräknad i den första diagonalen.

Ekv.: (4a - 4) +(a - 2) + (a - 3) =225
         6a - 9 = 225
                a = 39
Antal plattor: 39 * 39 = 1521

 
 
Svår: Rum nr 3
Svar: Golvet bestod av 8648 vita plattor.
 
Lösning:  
Antal svarta plattor: 2a +2b -4

Antalet vita plattor: (a-2)(b-2)
Ekv.:
(a-2)(b-2) = 23 (2a + 2b -4)
ab - 2a - 2b + 4 = 46 a + 46 b - 92
ab - 48a - 48b = - 96
a(b - 48) = 48(b - 2)
 a = 48(b - 2)/(b - 48)

Vi vet att a <100, dvs. 48(b - 2)/(b - 48)<100
Efter förenkling får man  13 b>1176    b> 90,...
Det innebär att b ligger i intervallet 90<b<100
Eftersom a och b är naturliga tal är lösningen enkel att hitta.
b = 94   ger  a = 48(b - 2)/(b - 48) = 48*92/46 = 96
b = 96   ger  a = 48(b - 2)/(b - 48) = 48*94/48 = 94
OBS! Samma värden i båda lösningarna men med ombytta värden för a och b.
Anm.: Eftersom det fanns 23 gånger så många vita plattor som svarta, måste antalet plattor vara delbart med 24. Därför måste ett av värdena för a resp. b vara delbart med 24.

Antal vita plattor: 94*92 = 8648

 Tillbaka