Månadens problem
juni 201
4 (lösning)

Professor Kalkyl

Uppgift 1: Ta ett tal

Lösning:
Vi undersöker först om summan A + T + L i entalskolumnen kan vara 10. I så fall är summan i tiotalskolumnen 2T + A + 1 (= minnessiffra).   Denna är också lika med 10, eftersom T enligt hundratalskolumnen är ≤3.
En jämförelse mellan entals- och tiotalskolumnen ger ekv.: A + T + L = 2T + A + 1 dvs. L = T + 1

I hundratalskolumnen måste de två siffrorna vara 1 och 3.
Fall 1: Talet E = 1 och talet T = 3 
Men i så fall blir också A = 10 - 1 - 2
.3 = 3 enligt tiotalskolumnen.
Två olika bokstäver (T och A) får inte motsvara samma tal!
Fall 2: Talet E = 3 och talet T = 1 (och L = 2)
I så fall blir A = 7 (entalskolumnen) och vi har hittat det rätta svaret.
Anm.: En undersökning av möjligheten att summan  i entalskolumnen är 20 ger ingen lösning.
Uppgift 2: Den tankspridde professorn.
Svar: Sträckan PC är 20 m och sträckan PD 19 m.
Lösning: 
P:s avstånd till rektangelns sidor är a, b, c och d (se figur).
Antag att sträckan PC är x cm och sträckan PD är y cm.
Pytagoras sats ger:
a2 + b2 = 52
a2 + d2 = 82
c2 + d2 = x2
b2 + c2 = y2
Efter förenkling får man x2 - y2 = 39, dvs. (x + y)(x - y) =39
Denna ekvation ger två lösningar:
Alt. 1: 
x + y = 39
      
    x - y = 1       
Svar: x = 20 och  y = 19

Alt. 2:
x + y = 13
         
x - y = 3        
Svar: x = 8 och y = 5
(Denna lösningen duger inte, eftersom
avståndet från punkten P till aulans fyra hörn är fyra olika naturliga tal.)

Slutsats när sträckorna PA, PB, PC och PD är fyra olika naturliga tal:
1. Det ena av sträckorna PA och PB måste vara ett jämnt tal och det andra ett udda tal.
2. Om sträckan PA < sträckan PB, gäller följande samband:
(1)
 x = y + 1 (2)

 Tillbaka