Månadens problem
januari 2020
(lösning)

Uppg. 1: 
Svar: 400 cm
Lösning:
Den stora kvadratens sida:
960 cm/4 = 240 cm
Det kvadratiska badlakanet har sidan 240 cm/2 = 120 cm
Det rektangulära badlakanet
har kortsidan 240 cm/3 = 80 cm
och långsidan 240 cm - 120cm =
120 cm.
Omkretsen är då
2 . 120 cm + 2 . 80 cm = 400 cm
 
Uppg. 2: 
Svar:
 Klassen består av 19 pojkar och 17 flickor
Lösning:
Vi gör följande antagande:
Flickor med glasögon: 9
Flickor utan glasögon: x
Pojkar med glasögon: x - 5
Pojkar utan glasögon: 2x
Ekvation: 9 + x + x - 5 + 2x = 36
                                  4x = 32
                                    x = 8
Antal pojkar: (8 - 5) + 2 . 8 = 19
Antal flickor: 9 + 8 = 17
 
Uppg. 3:  

Svar: 36 cm
Lösning:
AB = AC (tangenter från punkten A) = 18 cm
Omkretsen av triangeln ADE =
Sträckorna AD + DF + FE + AE
Men DF = DB (tangenter från punkten D) och EF = EC (tangenter från punkten E)
AD + DF + EF + AE kan därför skrivas
AD + DB + EC + AE = AB + AC =
2 . 18 cm = 36 cm (oberoende av var punkten F ligger på den blå cirkelbågen BC)

Anm.: Omkretsen av triangeln ADE påverkas inte av var punkten F ligger på den blåfärgade cirkelbågen.

Uppg. 4:  

Svar: n = 12
Lösning:
5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 23 . 3 . 5

Hur många 5-faktorer innehåller 50! ?
Svar: 12 st (10 tal är delbara med 5. Dessutom innehåller 25 och 50 2 st
5-faktorer)
Finns det 12 st 23 i 50!, dvs. kan 50! delas upp i 36 st 2-faktorer?
Svar: Ja (25 st tal delbara med 2, 12 st tal delbara med 4, 6 st tal delbara med 8 och 3 st tal delbara med 16 och 1 st tal delbart med 32.)
(25 + 12 + 6 + 3 + 1) st 2-faktorer = 47 st 2-faktorer
Finns det 12 st 3-faktorer i 50! ?
Svar: Ja (16 st tal är delbara med 3, 5 st tal är delbara med 9 och ett tal är delbart med 27)
(16 + 5 + 1) st 3-faktorer = 22 st 3-faktorer
Svar: Antalet 5-faktorer avgör att det högsta n-värdet är 12
 

Uppg. 5:

a)
Svar:  15 kombinationer
Lösning:
Det finns sammanlagt 15 kombinationer

OBS!
Antal kombinationer är
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

b)
Svar: 
Antalet kombinationer när man tar n st brickor blir 1 + 2 + ... + (n + 1)
Lösning:
Vi undersöker vad som gäller för de blå brickorna.
Om alla n brickorna är blå, finns det bara en kombination.
Om alla brickor utom en är blå, finns det 2 kombinationer.
......
Om ingen bricka är blå, finns det (n + 1) kombinationer.

Antalet kombinationer
blir 1 + 2 + ... + (n + 1)
Summan kan beräknas med formeln
(n + 1)(n + 2)/2
 

Staffan R. har föreslagit en elegant lösning:
Låt två väggar, l, placeras bland de fyra brickorna. Kalla färgerna  1, 2 och 3.
Brickorna markeras med x.

xxxx ll
xxlxlx
xlxxlx  
llxxxx      
osv.


1111
1123
1223
3333

För n st brickor gäller två lägen för vägarna bland (n + 2) platser
Vi får då   kombinationer.
För n=4 blir antalet kombinationer 
Antalet kombinationer kan också skrivas (n+2)(n+1)/2.

,

 

  Tillbaka