Uppg. 1:
a) Svar:
Tre barn.
b) Barnen är 1, 2 och 4 år.
Anm.:
Även åldrarna 1, 2, 2 och 2 år uppfyller villkoren för summa och
produkt.
Men eftersom trillingarna får anses vara lika gamla, kan man
inte i det här
fallet tala om det äldsta barnet. |
Uppg. 2:
Svar:
David har 4 barn: 2, 4, 6 och 12 år.
Lösning:
Eftersom produkten är en jämn kvadrat, måste den kunna delas
upp, så att varje primfaktor förekommer ett jämnt antal
gånger.
Det betyder att inget barn kan vara 11 eller 13 år.
Enligt uppgiften kan David ha högst 7 barn.
Sju barn
Summan av barnens åldrar kan vara högst 14+12+10+9+8+7+6=66
662 = 4356
Men för 7 barn är produkten åtminstone 2.3.4.5.6.7.8
dvs. 8! = 40320 (>4356) Duger ej!
Sex barn
Då kan summan vara högst 14+12+10+9+8+7 = 60
602 = 3600
Men för 6 barn är produkten åtminstone 7! = 5040 (>3600)
Duger ej!
Fem barn
Då kan summan vara högst 14+12+10+9+8 = 53
532 = 2809
Men för 5 barn är produkten åtminstone 6! = 720 (<2809)
Ett barn
Det kan självklart inte vara ett barn: a (produkten) <
a2 (summan i kvadrat) a≥2
Två barn:
Det kan inte vara två barn: ab < a2 + 2ab + b2
eftersom a och b är positiva tal.
Slutsats: Vi får undersöka möjligheterna, om David har
tre, fyra eller fem barn.
Här har jag inte hittat någon elegant lösning. Kanske kan någon,
som går in på den här sidan, hjälpa till?
En datakörning får undersöka de fall då produkten är en jämn
kvadrat. Denna jämförs sedan med (summan av åldrarna)2.
Endast fallet då David har fyra barn, 2, 4, 6 och 12 år gamla,
uppfyller villkoren i uppgiften. |
|