Eksjö Stadslopp (lösning)
Svar: ca 85 m
Lösning:
Antag, att han bör spurta x m
Detta kan vi beskriva med följande uttryck:
f(x) =(1000 - x)/4 + x/(7 - 0,02x)
Vi kan behandla det här uttrycket som ett max- och minproblem, dvs. derivera uttrycket och sedan sätta derivatan lika med noll.
Efter förenkling får vi x2 - 700x + 52500 = 0
 x ≈ 85,4  (m)

Anm.1:
Om professor Kalkyl inte spurtat, hade hans tid blivit 4 min 10 s.
Tack vare hans spurt blev tiden ca 4 min 4,8 s
En utförligare lösning finns här

Anm.2:
Pelle P. har gjort följande påpekande:
 Vid just 150 meter blir ju hastigheten 4 m/s för att sedan minska ännu mer ju närmare starten man börjar spurta, så det lönar sig inte att spurta innan de 150 m.

Tillbaka
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Antag, att han bör spurta x m
f(x) =(1000 - x)/4 + x/(7 - 0,02x)

f(x) = 250 - x/4 + x . (7 - 0,02x)-1           x . (7 - 0,02x)-1 deriveras enligt reglerna för "derivatan av en produkt" och "inre derivata"
f ' (x) = -1/4 + 1 . (7 - 0,02x)-1 + x . (7 - 0,02x)-2 . 0,02

Detta maxproblem löser vi genom att sätta  derivatan lika med noll
 -1/4 + 1 . (7 - 0,02x)-1 + x . (7 - 0,02x)-2 . 0,02 = 0       Multiplicera alla termerna med 4(7 - 0,02x)2

- (7 - 0,02x)2 + 4(7 - 0,02x) + 0,08x = 0

Efter förenkling får vi x2 - 700x + 52500 = 0
 (x1 ≈ 614,6  (m)     Duger inte av två skäl: 1. x ska vara < 150
                                                              2. 7 - 0,2 . 614,6 ger en negativ spurthastighet)
x2 ≈ 85,4  (m)

Tillbaka