Månadens problem december 2019

tågresan

Svar: 9 vagnar

ljusstakarna

Svar: Tomtefar hade gett order om att placera ut 21 sjuarmade ljusstakar och 15 femarmade ljusstakar.
Lösning:
Antag att tomtefar gett order om att placera ut x sjuarmade och y femarmade
Antal glödlampor enligt tomtefars order: 7x + 5y
Antal glödlamor, när tomtenissarna placerat ut ljusstakarna: 5x + 7y
Ekvationssystem

	7x + 5y = 5x + 7y +12 (1) 5x = 7y (2)
	x = y + 6 (1) 5x = 7y (2)
x = y + 6 insatt i ekv. (2) ger efter förenkling y = 15 y = 15 insatt i ekv. (1) ger x = 15 + 6 = 21

vedklamparna

Svar: Tomtenissen hade fel.
Lösning:
Vedklamparna har fortfarande samma längd som i standardbunten. Det som har ändrats är buntens omkrets och därmed också arean på bunten.
Volymen på veden är proportionell med buntens area.
Omkretsen är proportionell mot radien, men arean är proportionell mot radien i kvadrat.
När omkretsen är 1,5 gånger större, är arean (1,5)²=
2,25 gånger större.
I själva verket var det alltså mer än dubbelt så mycket ved i den nya bunten.

Julklapparna

Svar: 8 tomtenissar deltog i arbetet
Lösning:
Alt. 1
Problemet går att lösa med ett enkelt sifferexempel med lämpliga värden.
Antag att den större högen (A) innehöll 300 paket.
Denna hög blev klar första dagen.
Första halvan av dagen klarade hela styrkan av dubbelt så många paket som halva styrkan under resten av dagen, dvs. 200 paket under första halvan av dagen och 100 paket under andra halvan av dagen.
Den mindre högen (B) innehöll 300 paket/2 = 150 paket
Under senare halvan av första dagen klarade halva styrkan av 100 paket (Jämför med eftermiddagen med den större högen (A))
Återstår: 150 paket - 100 paket = 50 paket
Dessa 50 paket klarade en tomtenisse av på en dag.
Hela styrkan klarade av 200 paket på en halv dag, dvs. 400 paket på en hel dag.
Antal tomtenissar: 400/50 = 8
Alt. 2
Generell lösning:
Staffan R. har föreslagit den här lösningen
Antag att en nisse slår in n paket/dag och att antalet nissar är 2x.
Den större högen innehåller 2xn/2 (klart på f.m.) + xn/2 (klart på e.m.) paket
Den mindre högen innehåller xn/2 (klart på e.m.) + n (klart på andra dagen) paket
Eftersom den större högen är dubbelt så stor som den mindre högen får vi ekv.

Antal tomtenissar: 2x = 2 ^. 4 = 8

Lådan

Svar:
Alt. 1: Lådan har avrundat måtten 5,6 x 5,6 x 3,2 (dm) Den totala yttre arean av lådan ≈ 102,82 dm²
Alt. 2: Pelle P. har förslagit en lösning, där man använder derivering för att få fram det minsta värdet.
Han utnyttjar en kvadratisk plåt med sidan 11,7 dm
(avrundat värde).
Lådan har då avrundat måtten 5,85 x 5,85 x 2,92 (dm)
Den totala yttre arean blir då ≈ 102,60 dm²

Alt. 1:
Lösning:
Klipp ut kvadrater i hörnen med sidan x dm och vik upp plåten.
Lådans volym: x(12 - 2x)²= 100 (se figur)
Efter förenkling får man x³ - 12x² + 36 x -25 = 0
Vi försöker gissa en rot till ekvationen och ser ganska lätt att x = 1 är en rot till ekvationen.
Efter en polynomdivision får man en andragradsekvation, som ger ytterligare en lösning:

Lådans bottenyta har sidan 12 - 2^.3,2 = 5,6 (dm)
Det är den lösningen som redovisas i svaret. (x = 1 ger en låda med större vikt)

Alt. 2:
Bevis för att basytan är kvadratisk när den totala yttre arean är så liten som möjligt
1) Enl. Pelle P.
Basytan i lådan är xy och höjden är z
V = xyz
A = xy + 2xz + 2 yz
z = V/xy A = xy + 2V/y + 2V/x
Derivera först med avseende på x och sedan på y
A'(x) = y - 2V ^. x^-2
A'(y) = x - 2V ^. y^-2
Sätt båda derivatorna lika med 0
y - 2V ^. x^-2= 0 x²y = 2V (1)
x - 2V ^. y^-2= 0 xy² = 2V (2) (1) och (2) ger x = y dvs. kvadratisk botten
2)
Antag att basytan i lådan är en kvadrat med sidan x och att höjden är h (dm)
Vi jämför med att basytan är en rektangel med samma area, där sidorna är ax och bx.
Summan av faktorerna a och b är alltid > 2 när basytorna ska vara lika stora.
Ex:
Om a = 0,8 måste b = 1,25 0,8x ^. 1,25x = x²
0,8 + 1,25 = 2,05
Sammanlagda arean av de lodräta väggarna i lådan om basytan är en rektangel:
2 ^. 0,8xh + 2 ^.1,25xh = 4,1xh
Sammanlagda arean av de lodräta väggarna i lådan om basytan är en kvadrat: 4xh Slutsats: Den totala arean är minst när basytan är kvadratisk.
Lösning:
Antag att basytan är x²dm²
Då är höjden 100/x²dm
f(x) är en funktion som beskriver den totala yttre arean
f(x) = x²+ 4x ^.100/x²f'(x) = 2x - 400x^-2
f'(x) 0 = 2x - 400x^-2 = 0
x = ≈ 5,85 dm
Höjden är