Bonden Paavos betesfält (lösning) |
|
Svar:
(37 + 684 + 685) m = 1406 m Allmän formel: Lösning: Om den minsta sidan i en rätvinklig triangel är ett udda tal, går det alltid att hitta en rätvinklig triangel, där de två andra sidorna är två på varandra följande heltal. Upptäckt av Pythagoras på 500-talet f. Kr.) 37 som den längsta kateten fungerar inte. Om den minsta kateten är ett primtal, är det den enda lösningen.* I det här fallet finns det alltså bara en lösning, eftersom 37 är ett primtal.
Pythagoras sats ger: |
|
Om den minsta
sidan är a, får man (x + 1)2 = x2 + a2 2x + 1 = a2 En allmän formel ser därför ut så här
|
|
Bengt B. har föreslagit den här lösningen.
Formler
för primitiva pythagoreiska trianglar ger att den udda kateten = 37
alltid kan skrivas på formen (m+n)(m-n). Då måste det gälla att
(m-n) = 1 och m+n=37
m=19 n =18 (Endast en lösning!)
Hypotenusa c = m2 + n2
Jämn katet b = 2mn
Udda katet a = m2 - n2 =
(m+n)(m-n).
Omkrets = 2m2 + 2mn = 2m(m+n) = 2*19*37 = 1406 m |
|
* Bevis: a2 + x2 = (x + n)2 a2 = n(2x + n) Om a är ett primtal (jämnt delbart med 1 och talet självt), gäller likheten om 1) n = 1 Vi får då efter förenkling att (precis som enligt den allmänna formeln ovan.) 2) x= 0 Men det skulle betyda att kateten x är 0, vilket är orimligt. Slutsats: Det finns bara en pythagoreisk trippel, om den minsta kateten är ett primtal. |